Логаритмично уравнение

[KrasiSh]

Здравейте, едно уравнение, което на пръв поглед е показателно, но указанието на задачата е да се логаритмува ме тормози и ще бъда благодарен, ако някой ми напише решението.

[tex]3^{x} = 36*8^{-\frac{x}{x+1}}[/tex]

[Добромир Глухаров]

$3^x=36.8^{-\frac{x}{x+1}}$

Допустими стойности: $x\neq-1$

$3^x=(2.3)^2.2^{-\frac{3x}{x+1}}$

$3^{x-2}=2^{2-\frac{3x}{x+1}}$

$log_2\left(3^{x-2}\right)=log_2\left(2^{2-\frac{3x}{x+1}}\right)$

$(x-2)log_23=2-\frac{3x}{x+1}$

Означаваме за удобство при писането $log_23=l$

$l(x-2)(x+1)=2(x+1)-3x$

$lx^2+lx-2lx-2l=2-x$

$lx^2+(1-l)x-2(l+1)=0$

$D=(1-l)^2+8l(l+1)=1-2l+l^2+8l^2+8l=9l^2+6l+1=(3l+1)^2$

$x_{1,2}=\frac{l-1\pm(3l+1)}{2l}=\frac{4l}{2l};\frac{-2l-2}{2l}=2;-\frac{l+1}{l}$

$-\frac{log_23+1}{log_23}=-\frac{log_26}{log_23}=log_3\frac{1}{6}$

$x_{1,2}=2;log_3\frac{1}{6}\in\ Доп.\ стойн.$