Задачака

[Петър Евгениев]

Здравейте тази задача не мога да разбера защо така става...
[tex]3^{x}=36.8^{-\frac{x}{x+1}}[/tex], логаритмувам с основа 3
[tex]x=log_{3} 36.8^{-\frac{x}{x+1}}=log_{3} 36+log_{3} 8^{-\frac{x}{x+1}}=2log_{3} 6+log_{3} 2^{-\frac{3x}{x+1}}[/tex]
[tex]x=2(log_{3} 2+1)-\frac{3x}{x+1}log_{3} 2[/tex]
[tex]log_{3} 2=a[/tex]
[tex]x=2(a+1)-a\frac{3x}{x+1}=2a+2-a\frac{3x}{x+1}[/tex]
[tex]x=a(2-\frac{3x}{x+1})+2=a\frac{2-x}{x+1}+2[/tex]
[tex]x=\frac{a(2-x)}{x+1}+2 |.(x+1)[/tex] [tex]x\ne -1[/tex], тъй като е в знаменател
[tex]x(x+1)=a(2-x)+2(x+1)[/tex]
[tex]x(x+1)-2(x+1)=a(2-x)[/tex]
[tex](x+1)(x-2)=a(2-x)[/tex]
[tex]\frac{(x+1)(x-2)}{2-x}=a[/tex] [tex]x\ne 2[/tex]
[tex]-\frac{(x+1)\cancel{(2-x)}}{\cancel{(2-x)}}=a[/tex]
[tex]-x-1=log_{3} 2 \Leftrightarrow x=-(log_{3} 2 +1)=-log_{3} 6[/tex], което е единия отговор, а другия е 2... ? от къде ще дойде това 2, плюс това, ако е 2 знаменателя по-горе става нула...(получава се като директно проверя дали 2 е корен, но защото видях отговора иначе не знам ,че е корен... т.е кел файда.)

[123a]

Тук може да се постъпи така:

$2^{\frac{3x}{x+1}}.3^x=3^2.2^2$ [tex]\Rightarrow[/tex]
$2^{(\frac{3x}{x+1}-2)}=3^{2-x}$

Логаритмуваме при основа 2 и получаваме

$\frac{x-2}{x+1}=(2-x).log_{2}3$

Изнасяме $(x-2)$ пред скоби и получаваме

$(x-2)(log_{2}3+\frac{1}{x+1})=0$

От тук вече е лесно.
$x_{1}=2$
$x_{2}=-\frac{log_{2}6}{log_{2}3}=-log_{3}6$

[S.B.]

[tex]3^{x}[/tex] = 36.[tex]8^{\frac{-x}{x + 1}}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]3^{x}[/tex] = [tex]3^{3}[/tex].[tex]2^{2}[/tex].[tex]2^{\frac{-3x}{x + 1}}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]3^{x - 3}[/tex] = [tex]2^{\frac{2 - x}{x + 1}}[/tex] логаритмуваш при основа 3: x - 3 = [tex]\frac{2 - x}{x + 1}[/tex][tex]log_{3 }[/tex]2 полагаш [tex]log_{3 }[/tex]2 = a и получаваш [tex]\frac{(х - 3)(х + 1)}{2 - х}[/tex] = а[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x^{2}[/tex] + (а - 2)х - (3 + 2а)= 0 дискриминантата D= [tex](a + 2)^{2}[/tex]
получаваш [tex]x_{1 }[/tex] = [tex]\frac{2 - а + а + 2}{2}[/tex] = 2 и [tex]x_{2 }[/tex] = -а
или [tex]x_{2 }[/tex] = -[tex]log_{3 }[/tex]2 и [tex]x_{1 }[/tex] = 2

[inveidar]

Здравейте тази задача не мога да разбера защо така става...
[tex]3^{x}=36.8^{-\frac{x}{x+1}}[/tex], логаритмувам с основа 3
[tex]x=log_{3} 36.8^{-\frac{x}{x+1}}=log_{3} 36+log_{3} 8^{-\frac{x}{x+1}}=2log_{3} 6+log_{3} 2^{-\frac{3x}{x+1}}[/tex]
[tex]x=2(log_{3} 2+1)-\frac{3x}{x+1}log_{3} 2[/tex]
[tex]log_{3} 2=a[/tex]
[tex]x=2(a+1)-a\frac{3x}{x+1}=2a+2-a\frac{3x}{x+1}[/tex]
[tex]x=a(2-\frac{3x}{x+1})+2=a\frac{2-x}{x+1}+2[/tex]
[tex]x=\frac{a(2-x)}{x+1}+2 |.(x+1)[/tex] [tex]x\ne -1[/tex], тъй като е в знаменател
[tex]x(x+1)=a(2-x)+2(x+1)[/tex]
[tex]x(x+1)-2(x+1)=a(2-x)[/tex]
[tex](x+1)(x-2)=a(2-x)[/tex]
[tex]\frac{(x+1)(x-2)}{2-x}=a[/tex] [tex]x\ne 2[/tex]
[tex]-\frac{(x+1)\cancel{(2-x)}}{\cancel{(2-x)}}=a[/tex]
[tex]-x-1=log_{3} 2 \Leftrightarrow x=-(log_{3} 2 +1)=-log_{3} 6[/tex], което е единия отговор, а другия е 2... ? от къде ще дойде това 2, плюс това, ако е 2 знаменателя по-горе става нула...(получава се като директно проверя дали 2 е корен, но защото видях отговора иначе не знам ,че е корен... т.е кел файда.)

Грешката ти е, че делиш на 2-х и пишеш, че е различно от нула, а после не проверяваш какво става при х=2.

[inveidar]

[tex]3^{x}[/tex] = 36.[tex]8^{\frac{-x}{x + 1}}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]3^{x}[/tex] = [tex]3^{3}[/tex].[tex]2^{2}[/tex].[tex]2^{\frac{-3x}{x + 1}}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]3^{x - 3}[/tex] = [tex]2^{\frac{2 - x}{x + 1}}[/tex] логаритмуваш при основа 3: x - 3 = [tex]\frac{2 - x}{x + 1}[/tex][tex]log_{3 }[/tex]2 полагаш [tex]log_{3 }[/tex]2 = a и получаваш [tex]\frac{(х - 3)(х + 1)}{2 - х}[/tex] = а[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x^{2}[/tex] + (а - 2)х - (3 + 2а)= 0 дискриминантата D= [tex](a + 2)^{2}[/tex]
получаваш [tex]x_{1 }[/tex] = [tex]\frac{2 - а + а + 2}{2}[/tex] = 2 и [tex]x_{2 }[/tex] = -а
или [tex]x_{2 }[/tex] = -[tex]log_{3 }[/tex]2 и [tex]x_{1 }[/tex] = 2

Това решение принципно е грешно! Делиш на нещо, което не може да е нула, а след това получаваш отговор 2, при което това, на което делиш е нула. Не става така!

[S.B.]

Прав си!!!
ДМ: х[tex]\ne[/tex]-1
[tex]3^{х}[/tex] = 36.[tex]8^{\frac{- х}{х + 1}}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]3^{х}[/tex] = [tex]3^{2}[/tex].[tex]2^{2}[/tex].[tex]2^{\frac{-3х}{х + 1}}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]3^{х - 2}[/tex] = [tex]2^{\frac{2 - х}{х + 1}}[/tex] След логаритмуване при основа 3 :
х - 2 = [tex]\frac{2 - х}{х + 1}[/tex].[tex]log_{3 }[/tex]2 нека [tex]log_{3 }[/tex]2 = a; Тогава (х - 2)(х + 1) = а.(2 - х) [tex]\Rightarrow[/tex] (х - 2)(х + 1) - а(2 - х) = 0 [tex]\Rightarrow[/tex] (х - 2)(х + 1 + а) = 0
или [tex]x_{1 }[/tex] = 2[tex]\in[/tex] ДМ и [tex]x_{2 }[/tex] = -а -1 = -([tex]log_{3 }[/tex]2 + 1)[tex]\in[/tex]ДМ
Извинявам се!Наистина 36[tex]\ne[/tex][tex]3^{3}[/tex].[tex]2^{2}[/tex] а 36=[tex]3^{2}[/tex].2^{2} Да не говорим за другите грешки!

[Петър Евгениев]

Здравейте тази задача не мога да разбера защо така става...
[tex]3^{x}=36.8^{-\frac{x}{x+1}}[/tex], логаритмувам с основа 3
[tex]x=log_{3} 36.8^{-\frac{x}{x+1}}=log_{3} 36+log_{3} 8^{-\frac{x}{x+1}}=2log_{3} 6+log_{3} 2^{-\frac{3x}{x+1}}[/tex]
[tex]x=2(log_{3} 2+1)-\frac{3x}{x+1}log_{3} 2[/tex]
[tex]log_{3} 2=a[/tex]
[tex]x=2(a+1)-a\frac{3x}{x+1}=2a+2-a\frac{3x}{x+1}[/tex]
[tex]x=a(2-\frac{3x}{x+1})+2=a\frac{2-x}{x+1}+2[/tex]
[tex]x=\frac{a(2-x)}{x+1}+2 |.(x+1)[/tex] [tex]x\ne -1[/tex], тъй като е в знаменател
[tex]x(x+1)=a(2-x)+2(x+1)[/tex]
[tex]x(x+1)-2(x+1)=a(2-x)[/tex]
[tex](x+1)(x-2)=a(2-x)[/tex]
[tex]\frac{(x+1)(x-2)}{2-x}=a[/tex] [tex]x\ne 2[/tex]
[tex]-\frac{(x+1)\cancel{(2-x)}}{\cancel{(2-x)}}=a[/tex]
[tex]-x-1=log_{3} 2 \Leftrightarrow x=-(log_{3} 2 +1)=-log_{3} 6[/tex], което е единия отговор, а другия е 2... ? от къде ще дойде това 2, плюс това, ако е 2 знаменателя по-горе става нула...(получава се като директно проверя дали 2 е корен, но защото видях отговора иначе не знам ,че е корен... т.е кел файда.)

Грешката ти е, че делиш на 2-х и пишеш, че е различно от нула, а после не проверяваш какво става при х=2.

Демек, искаш да кажеш, че 2 е загубен корен, тъй като чрез трансформациите допустимото множество се променя, и аз трябва да проверя в първоначалното условие дали е? В случая е.

[ева]

Стигнал си до (х+1)(х-2)=а(2-х)
Сега трябва да разгледаш 2 случая
1 сл. при х=2 получаваме 3.0=а.0 т.е. 0=0 Щом получихме тъждество значи 2 е корен.
2 сл. при х[tex]\ne[/tex]2 ти си го решил

[Петър Евгениев]

Ето още една.
[tex](2+\sqrt{3})^{x}+(2-\sqrt{3})^{x}=4^{x}[/tex], Отговор [tex]x=1[/tex]

[S.B.]

[tex](2 + \sqrt{3})^{х}[/tex] + [tex](2 - \sqrt{3})^{х}[/tex] = [tex]4^{х}[/tex]
Тук при непосредсвена проверка за х =1 се получава :2 + [tex]\sqrt{3}[/tex] + 2 - [tex]\sqrt{3}[/tex] = 2 + 2 =4 или 4 = 4;
Може би условието на задачата е :[tex](2 + \sqrt{3})^{х}[/tex] + [tex](2 - \sqrt{3})^{х}[/tex] = 4 отг. х =1 (така е в един сборник)

[Петър Евгениев]

[tex](2 + \sqrt{3})^{х}[/tex] + [tex](2 - \sqrt{3})^{х}[/tex] = [tex]4^{х}[/tex]
Тук при непосредсвена проверка за х =1 се получава :2 + [tex]\sqrt{3}[/tex] + 2 - [tex]\sqrt{3}[/tex] = 2 + 2 =4 или 4 = 4;
Може би условието на задачата е :[tex](2 + \sqrt{3})^{х}[/tex] + [tex](2 - \sqrt{3})^{х}[/tex] = 4 отг. х =1 (така е в един сборник)

Условието е с [tex]4^{x}[/tex], грешки колко щеш... не ги броя вече(печатни) от учебника е задачата.

[Петър Евгениев]

Идеята на тази задача от това, което е показано в урока е, че трябва да докажеш ,че има само 1 корен...
Ако растяща функция е равна на намаляваща , то тя я пресича точно 1 път демек само 1 корен, предполагам това е замисъла на тази задача.

[S.B.]

Ще се опитам да ти помогна:
[tex](2 + \sqrt{3})^{х}[/tex] + [tex](2 - \sqrt{3})^{х}[/tex] = [tex]4^{х}[/tex] знаеш,че [tex]4^{х}[/tex]> 0 за [tex]\forall[/tex] х.Делиш двете страни на уравнението на [tex]4^{х}[/tex] и получаваш:
[tex](\frac{2 + \sqrt{3}}{4})^{х}[/tex] + [tex](\frac{2 - \sqrt{3}}{4})^{х}[/tex] = 1
[tex]\frac{2 + \sqrt{3}}{4}[/tex] < 1 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex](\frac{2 + \sqrt{3}}{4})^{х}[/tex] е намаляваща функция,също така и функцията
[tex]\frac{2 - \sqrt{3}}{4}[/tex] < 1 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex](\frac{2 - \sqrt{3}}{4})^{х}[/tex] е намаляваща функция ,а сбора от двете намаляващи функции също е намаляваща [tex]\Rightarrow[/tex] от ляво на уравнението стои намаляваща функция.От дясно стои 1=const,следователно имат най - много една пресечна точка или уравнението има най - много едно решение;
х=0 не е решение защото [tex](\frac{2 + \sqrt{3}}{4})^{0}[/tex] + [tex](\frac{2 - \sqrt{3}}{4})^{0}[/tex] = 1 + 1 = 2[tex]\ne[/tex]1
х =1 е решение,защото [tex](\frac{2 + \sqrt{3}}{4})^{1}[/tex] + [tex](\frac{2 - \sqrt{3}}{4})^{1}[/tex] = [tex]\frac{2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}}{4}[/tex] = [tex]\frac{2 + 2}{4}[/tex] = 1
Тези задачи се решават малко "на око" - виждаш колко е сбора на двете ( в случая спрегнати) числа.Обикновено не е трудно да се досетиш.Правилото е от едната страна да получиш const - най - често =1

[S.B.]

[tex](2 + \sqrt{3})^{х}[/tex] + [tex](2 - \sqrt{3})^{х}[/tex] = [tex]4^{х}[/tex]
Тук при непосредсвена проверка за х =1 се получава :2 + [tex]\sqrt{3}[/tex] + 2 - [tex]\sqrt{3}[/tex] = 2 + 2 =4 или 4 = 4;
Може би условието на задачата е :[tex](2 + \sqrt{3})^{х}[/tex] + [tex](2 - \sqrt{3})^{х}[/tex] = 4 отг. х =1 (така е в един сборник)

Условието е с [tex]4^{x}[/tex], грешки колко щеш... не ги броя вече(печатни) от учебника е задачата.

[tex](2 + \sqrt{3})^{х}[/tex] + [tex](2 - \sqrt{3})^{х}[/tex] = 4 има два корена :[tex]x_{1 }[/tex]=1 и [tex]x_{2 }[/tex] = -1
Опитай се ако искаш.

[ABC/2]

log.png (2.17 KiB) Прегледано 2700 пъти

Някой може ли да помогне за следната задача

[Петър Евгениев]

log.png

Някой може ли да помогне за следната задача

Разбира се. Само ,че когато качваш задачи, прави отделни теми за тях.
$$1+log_{6}\left(\frac{x+3}{x+7}\right)=\frac{1}{2}log_{6}(x^{2}-2x+1)$$
Дефинираме логаритмичните функции от вида [tex]f(x)=log_{a}{b}[/tex], за стойности на [tex]a\ne1, a>0, b>0[/tex] или с други думи това са допустимите стойности на логаритмите, които е важно да знаеш и разбереш.(ако нямаш въпроси към тях значи не си се опитал да ги разбереш)
В нашата задача имаме ДС:[tex]\frac{x+3}{x+7}>0[/tex] и [tex]x^{2}-2x+1>0[/tex], защото са аргументи на логаритми.
Но ДС-тата ги слагаме в система.
$$\begin{array}{|l} \frac{x+3}{x+7}>0 \\x^{2}-2x+1>0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} x\in(-\infty;-7)\cup(-3;+\infty)\\x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty) \end{array} \Rightarrow x\in(-\infty;-7)\cup(-3;1)\cup(1;+\infty)$$
След като си установил ДС вече решаваш.
$$1+log_{6}\left(\frac{x+3}{x+7}\right)=\frac{1}{2}log_{6}(x^{2}-2x+1) \Rightarrow \frac{1}{2}log_{6}(x^{2}-2x+1)-log_{6}\left(\frac{x+3}{x+7}\right)=1$$
Ако си внимавал(използвал учебника за четене, а не чукане на орехи) , то знаеш че:[tex]log_{a}b+log_{a}c=log_{a}bc[/tex] и [tex]log_{a}b-log_{a}c=log_{a}\frac{b}{c}[/tex] и [tex]\frac{m}{n}log_{a}b=log_{a^{n}}b^{m}[/tex]
Тук прилагам точно това.
$$2^{-1}log_{6}(x^{2}-2x+1)-log_{6}\left(\frac{x+3}{x+7}\right)=1 \Rightarrow log_{6}(x^{2}-2x+1)^{2^{-1}}-log_{6}\left(\frac{x+3}{x+7}\right)=1$$
Почвай да пробваш сам, ако ставаше само с гледане, кучето щеше да е най-големия касапин.
$$log_{6}\left(\frac{(x^{2}-2x+1)^{2^{-1}}}{\left(\frac{x+3}{x+7}\right)}\right)=1$$
Кога един логаритъм е равен на едно? [tex]log_{a}b=1 \Leftrightarrow b=а, а\ne1,a>0,b>0[/tex]
Тогава:
$$log_{6}\left(\frac{(x^{2}-2x+1)^{2^{-1}}}{\left(\frac{x+3}{x+7}\right)}\right)=1 \Leftrightarrow \left(\frac{(x^{2}-2x+1)^{2^{-1}}}{\left(\frac{x+3}{x+7}\right)}\right)=6$$
$$....$$
[tex]x=-11, x=-1, x=5[/tex], сега гледаш ДС:[tex]x\in(-\infty;-7)\cup(-3;1)\cup(1;+\infty)[/tex]
[tex]x=-11\in[/tex]ДС, значи е корен
[tex]x=-1\in[/tex]ДС занчи е корен
[tex]x=5\in[/tex]ДС значи е корен
Дефакто всички заподозряни корени са корени, няма чужди или загубени корени.:[tex]x=-11,x=-1,x=5[/tex]
Но да знаеш, че понякога се случва така ,че някой корен отпада, защото не е в интервала на допустимите стойности.

[ABC/2]

Без име.png (4.38 KiB) Прегледано 2678 пъти

Благодаря Петър Евгениев за помощта. Би ли разписал решението след този израз още малко, за да направя връзката с корените на уравнението.

[Петър Евгениев]

Без име.png

Благодаря Петър Евгениев за помощта. Би ли разписал решението след този израз още малко, за да направя връзката с корените на уравнението.

Окей. Въпрос, какво е [tex]2^{-1}[/tex], какво е [tex]a^{2^{-1}}[/tex]?
[tex]a^{x}=\frac{1}{a^{-x}}[/tex] демек [tex]2^{-1}=\frac{1}{2^{1}}=\frac{1}{2}[/tex], тогава какво е [tex]a^{2^{-1}}=a^{\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}[/tex], значи [tex]a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}[/tex]
Сега към въпроса.
$$\left (\frac{(x^{2}-2x+1)^{\frac{1}{2}}}{\frac{x+3}{x+7}}\right)=6 \Rightarrow \left (\frac{\sqrt{(x^{2}-2x+1)}}{\frac{x+3}{x+7}}\right)=6 $$
Как делиш това:[tex]\frac{a}{\frac{b}{c}}[/tex]?
Числителя умножено по реципрочното на знаменателя(какво е реципрочно?).
Имаш два варианта: решаваш уравнението [tex]x^{2}-2x+1[/tex], и го разлагаш или по-рационалният начин:сещаш се, че това е точно форула за съкратено умножение [tex](x-1)^{2}=x^{2}-2x+1[/tex]
$$ \left(\frac{\sqrt{(x-1)^{2}}}{\frac{x+3}{x+7}}\right)=6$$
$$\frac{|x-1|}{\frac{x+3}{x+7}}=6 \Rightarrow \frac{|x-1|(x+7)}{x+3}=6, x\ne-7, x\ne-3$$
Сега вече решаваме модулно уванение какво е модул? [tex]|x|=\begin{cases} x, x\ge0\\ -x, x<0 \end{cases}[/tex].
Long story short винаги го прави положително число аргумента в модула.
Въпроса е как да решим това уравнение: [tex]\frac{|x-1|(x+7)}{x+3}=6[/tex]
Правя така:[tex]|x-1|=\begin{cases} x-1, x-1\ge 0 \\ 1-x, x-1<0 \end{cases}[/tex]
Демек: разкривам модула едни път с плюс т.е [tex]|x-1|=x-1[/tex], в интервала [tex]x\ge1[/tex]
и един път с минус т.е [tex]|x-1|=1-x[/tex], в интервала [tex]x<1[/tex]
[tex]I.) \frac{(x-1)(x+7)}{x+3}=6,x\ne-3,x\ne-7,x\ge1[/tex]
Решаваш това дробно уравнение вярвам,че ще успееш и получаваш:[tex]\frac{(x-1)(x+7)}{x+3}=6 \rightarrow x=-5, x=5[/tex]
Но имаш ДС:[tex]x\ne-3,x\ne-7,x\ge1[/tex]
[tex]x=-5\notin[/tex]ДС значи не корен поне за този случай.
[tex]x=5\in[/tex]ДС значи е корен
Сега разкривам модула с минус т.е
[tex]II.) |x-1|=1-x, x<1[/tex]
[tex]\frac{(1-x)(x+7)}{x+3}=6,x\ne-3,x\ne-7,x<1[/tex]
Решаваш и това дробно уравнение и получаваш:[tex]x=-11, x=-1[/tex], ама ДС ти е :[tex]x\ne-3,x\ne-7,x<1[/tex]
[tex]x=-11\in[/tex]ДС значи е корен
[tex]x=-1\in[/tex]ДС значи е корен
Корените сърани от двата случая са:[tex]x=-11,x=-1,x=5[/tex]

[ABC/2]

Благодаря Петър Евгениев за подробното разписване. Всичко по тази задача ми се изясни. Бях забравил някои зависимости, но направих свръзките благодарение на теб. Бъди жив и здрав! И дано тази задача помогне и на други.