Неравенство

[Петър Евгениев]

Здравейте, ако някой има време да погледне дали имам грешка тук, защото имам несъответсвие с отговора.
[tex]log_{x} (\frac{2x-1}{x^{2}+x}) >0[/tex]
Първо намирам допустимите стойности на целия израз [tex]\begin{array}{|l} \frac{2x-1}{x^{2}+x}>0 \\ x>0\\x\ne 1\end{array} \Rightarrow x\in (\frac{1}{2};1)\cup(1;+\infty)[/tex]
[tex]I.)x>1[/tex]
[tex]log_{x} (\frac{2x-1}{x^{2}+x} > log_{x} 1[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} \frac{2x-1}{x^{2}+x}>1 \\ x>1 \end{array}[/tex]
[tex]\frac{2x-1}{x^{2}+x}>1 \Rightarrow \frac{2x-1-x^{2}-x}{x^{2}+x}>0[/tex]
[tex]\frac{-x^{2}+x-1}{x^{2}+x}>0 \Rightarrow x\in (-1;0)[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} x\in (-1;0) \\ x>1 \end{array} \Rightarrow[/tex] няма сечение... значи няма смъсъл да засичаме с допустимите стойности
[tex]II.)0<x<1[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} \frac{2x-1}{x^{2}+x}<1 \\ x\in (0;1) \end{array}[/tex]
[tex]\frac{x^{2}-x+1}{x(x+1)}<0 \Rightarrow x\in (-\infty;-1)\cup (0;+\infty)[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} x\in (-\infty;-1)\cup (0;+\infty) \\ x\in (0;1) \end{array} \Rightarrow x\in (0;1)[/tex]
Обаче сега трябва да засеча с допустимите стойности на целия израз т.е [tex]\begin{array}{|l} x\in (0;1) \\x\in (\frac{1}{2};1)\cup(1;+\infty) \end{array} \Rightarrow \boxed{x\in (\frac{1}{2};1)}[/tex]
А пък отговора е [tex]x\in(0;1)[/tex]

[monika_at]

Твоето решение е вярно.

[S.B.]

Моето мнение е ,че отговорът в х[tex]\in[/tex](0;1) не може да е верен,тъй като ДМ е х[tex]\in[/tex]([tex]\frac{1}{2}[/tex];1)[tex]\cup[/tex](1;+[tex]\infty[/tex]).Ако допуснем,че съществува решение х[tex]\in[/tex](0;1), тогава х=[tex]\frac{1}{4}[/tex] ще бъде решение,но тогава [tex]\frac{2.\frac{1}{4} - 1}{\frac{1}{4}.(\frac{1}{4} + 1)}[/tex]<0 т.е. твоят отговор х[tex]\in[/tex]([tex]\frac{1}{2}[/tex];1) е верен.
Но имам и една забележка към твоето решение.Във II случай разглеждаш 0<х<1 след като вече си решил,че х[tex]\in[/tex]([tex]\frac{1}{2}[/tex];1)
т.е. II случай ще бъде за [tex]\frac{1}{2}[/tex] < х < 1,а не 0<х<1

[S.B.]

Моето мнение е ,че отговорът в х[tex]\in[/tex](0;1) не може да е верен,тъй като ДМ е х[tex]\in[/tex]([tex]\frac{1}{2}[/tex];1)[tex]\cup[/tex](1;+[tex]\infty[/tex]).Ако допуснем,че съществува решение х[tex]\in[/tex](0;1), тогава х=[tex]\frac{1}{4}[/tex] ще бъде решение,но тогава [tex]\frac{2.\frac{1}{4} - 1}{\frac{1}{4}.(\frac{1}{4} + 1)}[/tex]<0 т.е. твоят отговор х[tex]\in[/tex]([tex]\frac{1}{2}[/tex];1) е верен.
Но имам и една забележка към твоето решение.Във II случай разглеждаш 0<х<1 след като вече си решил,че х[tex]\in[/tex]([tex]\frac{1}{2}[/tex];1)
т.е. II случай ще бъде за [tex]\frac{1}{2}[/tex] < х < 1,а не 0<х<1

Исках да кажа ако допуснем ,че съществува решение х[tex]\in[/tex](0,[tex]\frac{1}{2}[/tex]) , а не х[tex]\in[/tex](0,1);
Извинявам се!