Уравнение

[Петър Евгениев]

[tex]lg\sqrt{x}=lg(x-a-a^{2})[/tex], пробвах но тези отговори ми бягат особено като има параметър
Благодаря предварително.

[S.B.]

lg[tex]\sqrt{x}[/tex] = lg (x - a - [tex]a^{2}[/tex])
ДМ : x>0 и x > a(1 + a)
[tex]\sqrt{x}[/tex] = x - a(1 + a) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x^{\frac{1}{2}}[/tex] - x + a(1 +a) =0
нека [tex]x^{\frac{1}{2}}[/tex] = t тогава х = [tex]t^{2}[/tex] > 0 и се получава : [tex]t^{2}[/tex] - t - a(1 + a)=0
D = 1 + 4a(1 + a) = 1 + 4a + 4[tex]a^{2}[/tex] = [tex](1 + 2a)^{2}[/tex] [tex]\ge[/tex]0 за [tex]\forall[/tex]а
[tex]t_{1 }[/tex] = [tex]\frac{1 + 1 + 2a}{2}[/tex] = 1 + a
[tex]t_{2 }[/tex] = [tex]\frac{1 - 1 - 2a}{2}[/tex] = -а
х = [tex]t^{2}[/tex] следователно : [tex]x_{1 }[/tex] = [tex]t_{1 }^{2}[/tex] = [tex](1 + a)^{2}[/tex];[tex]x_{1 }[/tex]>0 и [tex]x_{1 }[/tex] > а(а +1) [tex]\rightarrow[/tex] [tex]x_{1 }[/tex][tex]\in[/tex]ДМ;
[tex]x_{2 }[/tex] = [tex]t_{2 }^{2}[/tex] = [tex](-a)^{2}[/tex]< a(1 + a)[tex]\rightarrow[/tex][tex]x_{2 }[/tex][tex]\notin[/tex]ДМ
[tex]\Rightarrow[/tex] х = [tex](а + 1 )^{2}[/tex]

[123a]

Ще се пробвам и аз.

Уравнението е равносилно на системата[tex]\begin{cases} x > 0 \\ \sqrt{x}= x-a-a^2\end{cases}[/tex]

Условието $x-a-a^2>0(1)$ отпада, понеже $x>0$ е по-силно и щом $x>0$, то $(1)$ също е положително .

Полагаме $\sqrt{x}=y>0$ и получаваме $y^2-y-a-a^2=0$

$D=(2a+1)^2$

Ако $D=0(a=-\frac{1}{2})=>y_1=y_2=\frac{1}{2}=>x=\frac{1}{4}$

Ако $D>0 (\forall a\ne-\frac{1}{2})=>y_1=a+1;y_2=-a$

Ако $a\in(-1;0)=>y_1,_2>0=>x_1=(a+1)^2;x_2=a^2$

Окончателно:
Ако $а=-\frac{1}{2}=>x=\frac{1}{4}$
Ако $a\in(-1;-\frac{1}{2})\cup(-\frac{1}{2};0)=>=>x_1=(a+1)^2;x_2=a^2$

[Петър Евгениев]

Еврика, разбрах го супер сте благодаря ви!

[S.B.]

lg[tex]\sqrt{x}[/tex] = lg (x - a - [tex]a^{2}[/tex])
ДМ : x>0 и x > a(1 + a)
[tex]\sqrt{x}[/tex] = x - a(1 + a) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x^{\frac{1}{2}}[/tex] - x + a(1 +a) =0
нека [tex]x^{\frac{1}{2}}[/tex] = t тогава х = [tex]t^{2}[/tex] > 0 и се получава : [tex]t^{2}[/tex] - t - a(1 + a)=0
D = 1 + 4a(1 + a) = 1 + 4a + 4[tex]a^{2}[/tex] = [tex](1 + 2a)^{2}[/tex] [tex]\ge[/tex]0 за [tex]\forall[/tex]а
[tex]t_{1 }[/tex] = [tex]\frac{1 + 1 + 2a}{2}[/tex] = 1 + a
[tex]t_{2 }[/tex] = [tex]\frac{1 - 1 - 2a}{2}[/tex] = -а
х = [tex]t^{2}[/tex] следователно : [tex]x_{1 }[/tex] = [tex]t_{1 }^{2}[/tex] = [tex](1 + a)^{2}[/tex];[tex]x_{1 }[/tex]>0 и [tex]x_{1 }[/tex] > а(а +1) [tex]\rightarrow[/tex] [tex]x_{1 }[/tex][tex]\in[/tex]ДМ;
[tex]x_{2 }[/tex] = [tex]t_{2 }^{2}[/tex] = [tex](-a)^{2}[/tex]< a(1 + a)[tex]\rightarrow[/tex][tex]x_{2 }[/tex][tex]\notin[/tex]ДМ
[tex]\Rightarrow[/tex] х = [tex](а + 1 )^{2}[/tex]

Извинявам се,но не съм оценила коректно принадлежността на двата корена към ДМ,което искам да коригирам:
ДМ: х>0 и х>а(а +1)
[tex]x_{1 }[/tex]= [tex]t_{1 }^{2}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]x_{1 }[/tex]=[tex](1 + a)^{2}[/tex] [tex](1 + a)^{2}[/tex]>0 за [tex]\forall[/tex]а; Трябва [tex](1 + а)^{2}[/tex]>а(а+1) или 1 + 2а + [tex]а^{2}[/tex] - а - [tex]а^{2}[/tex] > 0 [tex]\rightarrow[/tex] 1 + а>0 или а>-1
[tex]x_{2 }[/tex] = [tex]t_{2 }^{2}[/tex] = [tex](-a)^{2}[/tex] = [tex]a^{2}[/tex] > 0 за [tex]\forall[/tex] а Трябва [tex]а^{2}[/tex] > а(1 + а) [tex]\rightarrow[/tex] [tex]а^{2}[/tex] - а - [tex]а^{2}[/tex]> 0 [tex]\rightarrow[/tex] -а > 0 или а<0
Окончателно:[tex]x_{1 }[/tex] = [tex](а + 1)^{2}[/tex] за [tex]\forall[/tex] а> -1 и [tex]x_{2 }[/tex] = [tex]а^{2}[/tex] за [tex]\forall[/tex] а < 0

[Петър Евгениев]

lg[tex]\sqrt{x}[/tex] = lg (x - a - [tex]a^{2}[/tex])
ДМ : x>0 и x > a(1 + a)
[tex]\sqrt{x}[/tex] = x - a(1 + a) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x^{\frac{1}{2}}[/tex] - x + a(1 +a) =0
нека [tex]x^{\frac{1}{2}}[/tex] = t тогава х = [tex]t^{2}[/tex] > 0 и се получава : [tex]t^{2}[/tex] - t - a(1 + a)=0
D = 1 + 4a(1 + a) = 1 + 4a + 4[tex]a^{2}[/tex] = [tex](1 + 2a)^{2}[/tex] [tex]\ge[/tex]0 за [tex]\forall[/tex]а
[tex]t_{1 }[/tex] = [tex]\frac{1 + 1 + 2a}{2}[/tex] = 1 + a
[tex]t_{2 }[/tex] = [tex]\frac{1 - 1 - 2a}{2}[/tex] = -а
х = [tex]t^{2}[/tex] следователно : [tex]x_{1 }[/tex] = [tex]t_{1 }^{2}[/tex] = [tex](1 + a)^{2}[/tex];[tex]x_{1 }[/tex]>0 и [tex]x_{1 }[/tex] > а(а +1) [tex]\rightarrow[/tex] [tex]x_{1 }[/tex][tex]\in[/tex]ДМ;
[tex]x_{2 }[/tex] = [tex]t_{2 }^{2}[/tex] = [tex](-a)^{2}[/tex]< a(1 + a)[tex]\rightarrow[/tex][tex]x_{2 }[/tex][tex]\notin[/tex]ДМ
[tex]\Rightarrow[/tex] х = [tex](а + 1 )^{2}[/tex]

Извинявам се,но не съм оценила коректно принадлежността на двата корена към ДМ,което искам да коригирам:
ДМ: х>0 и х>а(а +1)
[tex]x_{1 }[/tex]= [tex]t_{1 }^{2}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]x_{1 }[/tex]=[tex](1 + a)^{2}[/tex] [tex](1 + a)^{2}[/tex]>0 за [tex]\forall[/tex]а; Трябва [tex](1 + а)^{2}[/tex]>а(а+1) или 1 + 2а + [tex]а^{2}[/tex] - а - [tex]а^{2}[/tex] > 0 [tex]\rightarrow[/tex] 1 + а>0 или а>-1
[tex]x_{2 }[/tex] = [tex]t_{2 }^{2}[/tex] = [tex](-a)^{2}[/tex] = [tex]a^{2}[/tex] > 0 за [tex]\forall[/tex] а Трябва [tex]а^{2}[/tex] > а(1 + а) [tex]\rightarrow[/tex] [tex]а^{2}[/tex] - а - [tex]а^{2}[/tex]> 0 [tex]\rightarrow[/tex] -а > 0 или а<0
Окончателно:[tex]x_{1 }[/tex] = [tex](а + 1)^{2}[/tex] за [tex]\forall[/tex] а> -1 и [tex]x_{2 }[/tex] = [tex]а^{2}[/tex] за [tex]\forall[/tex] а < 0

Да аз по отговора се сетих още снощи, благодаря все пак ,че го написа!
Реших всички задачи, които си бях наумил да реша освен една, която ще я пусна по-късно.