Неравенство 1.1

[Петър Евгениев]

[tex]log_{x-3} (x^{2}-4x)^{2}\le 4[/tex], ще напиша какво мисля (не мога да я довърша) п.с бях събрал няколко задачи от всички, които не излизат или не мога да ги реша и затова толко много питам и пускам дано не е проблем
ДС:[tex]x\in(3;4)\cup(4;+\infty)[/tex]
[tex]log_{x-3} (x^{2}-4x)^{2}\le log_{x-3} (x-3)^{4}[/tex]
[tex]I.)x-3>1 \Rightarrow x>4[/tex]
[tex](x^{2}-4x)^{2}\le (x-3)^{4}[/tex], Коренувам
[tex]|x^{2}-4x|\le (x-3)^{2}[/tex], до тук съм аз после става доста объркано където съм писал и с риск да объркам обърканото пиша тук
Благодаря предварително пак на всеки отделил от ценното си време.

[Davids]

$log_{x-3}(x^2 - 4x)^2 \le 4$
ДС: $\boxed{x \in (3; 4) \cup (4; +\infty)}$

$2log_{x-3}(x^2 - 4x) \le 4 |:2$
$log_{x-3}(x^2-4x) \le 2$
$log_{x-3}(x^2-4x) \le log_{x-3}(x-3)^2$

I случай: $x - 3 < 1 \Rightarrow \boxed{x < 4}$
Тогава $x^2 - 4x \ge (x-3)^2$
$x^2 - 4x \ge x^2 - 6x + 9$
$x \ge 4,5$ и решения няма

II случай: $x - 3 > 1 \Rightarrow \boxed{x > 4}$
Тогава $x^2 - 4x \le (x-3)^2$
и в крайна сметка $x \le 4,5$
Окончателен отговор за случая, а и за цялата задача, е $\boxed{x \in (4; 4,5]}$

[Hephaestus]

[tex]log_{x-3 }(x^{2} - 4x)^2 \le 4[/tex]
ДС: [tex]x \in (3; 4) \cup (4; +\infty)[/tex]
[tex]log_{x-3 }(x^{2} - 4x)^2 \le log_{x-3 }(x - 3)^4[/tex]

[tex]I. x \in (4; +\infty)[/tex]
[tex](x^{2} - 4x)^2 \le (x - 3)^4 \Leftrightarrow
|x^{2} - 4x| \le (x - 3)^2[/tex]
Стигнал си до тук. Не е толкова объркано, колкото си мислиш. Просто трябва да се съобразиш, че разглеждаш случая, когато [tex]x \in (4; +\infty)[/tex] и тогава изразът [tex]x^{2} - 4x[/tex] винаги ти е положителен, следователно [tex]|x^{2} - 4x| = x^{2} - 4x[/tex]
Тогава имаш [tex]x^{2} - 4x \le (x - 3)^2 \Rightarrow 2x \le 9 \Rightarrow x \le \frac{9}{2}[/tex]
Имайки предвид разглеждания интервал ([tex]x \in (4; +\infty))[/tex], получаваш [tex]x \in (4; \frac{9}{2}][/tex]

[tex]II. x \in (3; 4)[/tex]
[tex](x^{2} - 4x)^2 \ge (x - 3)^4 \Leftrightarrow
|x^{2} - 4x| \ge (x - 3)^2[/tex]
Когато [tex]x \in (3; 4)[/tex], изразът [tex]x^{2} - 4x[/tex] винаги ти е отрицателен, следователно [tex]|x^{2} - 4x| = -(x^{2} - 4x)[/tex]
Тогава имаш [tex]-x^{2} + 4x \ge (x - 3)^2 \Rightarrow 2x^{2} - 10x + 9 \le 0 \Leftrightarrow x \in [\frac{1}{2}(5 - \sqrt{7}); \frac{1}{2}(5 + \sqrt{7})][/tex]
[tex]\frac{1}{2}(5 - \sqrt{7}) \approx 1,2[/tex], [tex]\frac{1}{2}(5 + \sqrt{7}) \approx 3,8[/tex]
Имайки предвид разглеждания интервал [tex](x \in (3; 4))[/tex], получаваш [tex]x \in (3; \frac{1}{2}(5 + \sqrt{7})][/tex]
Обединяваш двата случая, откъдето окончателният отговор е [tex]x \in (3; \frac{1}{2}(5 + \sqrt{7})] \cup (4; \frac{9}{2}][/tex]

[Петър Евгениев]

[tex]log_{x-3 }(x^{2} - 4x)^2 \le 4[/tex]
ДС: [tex]x \in (3; 4) \cup (4; +\infty)[/tex]
[tex]log_{x-3 }(x^{2} - 4x)^2 \le log_{x-3 }(x - 3)^4[/tex]

[tex]I. x \in (4; +\infty)[/tex]
[tex](x^{2} - 4x)^2 \le (x - 3)^4 \Leftrightarrow
|x^{2} - 4x| \le (x - 3)^2[/tex]
Стигнал си до тук. Не е толкова объркано, колкото си мислиш. Просто трябва да се съобразиш, че разглеждаш случая, когато [tex]x \in (4; +\infty)[/tex] и тогава изразът [tex]x^{2} - 4x[/tex] винаги ти е положителен, следователно [tex]|x^{2} - 4x| = x^{2} - 4x[/tex]
Тогава имаш [tex]x^{2} - 4x \le (x - 3)^2 \Rightarrow 2x \le 9 \Rightarrow x \le \frac{9}{2}[/tex]
Имайки предвид разглеждания интервал ([tex]x \in (4; +\infty))[/tex], получаваш [tex]x \in (4; \frac{9}{2}][/tex]

[tex]II. x \in (3; 4)[/tex]
[tex](x^{2} - 4x)^2 \ge (x - 3)^4 \Leftrightarrow
|x^{2} - 4x| \ge (x - 3)^2[/tex]
Когато [tex]x \in (3; 4)[/tex], изразът [tex]x^{2} - 4x[/tex] винаги ти е отрицателен, следователно [tex]|x^{2} - 4x| = -(x^{2} - 4x)[/tex]
Тогава имаш [tex]-x^{2} + 4x \ge (x - 3)^2 \Rightarrow 2x^{2} - 10x + 9 \le 0 \Leftrightarrow x \in [\frac{1}{2}(5 - \sqrt{7}); \frac{1}{2}(5 + \sqrt{7})][/tex]
[tex]\frac{1}{2}(5 - \sqrt{7}) \approx 1,2[/tex], [tex]\frac{1}{2}(5 + \sqrt{7}) \approx 3,8[/tex]
Имайки предвид разглеждания интервал [tex](x \in (3; 4))[/tex], получаваш [tex]x \in (3; \frac{1}{2}(5 + \sqrt{7})][/tex]
Обединяваш двата случая, откъдето окончателният отговор е [tex]x \in (3; \frac{1}{2}(5 + \sqrt{7})] \cup (4; \frac{9}{2}][/tex]

В даскалото тука направих опит да я дореша и след като погледнах тук какво си написал ,че получих точно това много се зарадвах, не било объркано, благодаря ти!

[inveidar]

$log_{x-3}(x^2 - 4x)^2 \le 4$
ДС: $\boxed{x \in (3; 4) \cup (4; +\infty)}$

$2log_{x-3}(x^2 - 4x) \le 4 |:2$
$log_{x-3}(x^2-4x) \le 2$
$log_{x-3}(x^2-4x) \le log_{x-3}(x-3)^2$

I случай: $x - 3 < 1 \Rightarrow \boxed{x < 4}$
Тогава $x^2 - 4x \ge (x-3)^2$
$x^2 - 4x \ge x^2 - 6x + 9$
$x \ge 4,5$ и решения няма

II случай: $x - 3 > 1 \Rightarrow \boxed{x > 4}$
Тогава $x^2 - 4x \le (x-3)^2$
и в крайна сметка $x \le 4,5$
Окончателен отговор за случая, а и за цялата задача, е $\boxed{x \in (4; 4,5]}$

Оцветеното в червено е вярно само при $x \in (4; +\infty)$.

[Davids]

$log_{x-3}(x^2 - 4x)^2 \le 4$
ДС: $\boxed{x \in (3; 4) \cup (4; +\infty)}$

$2log_{x-3}(x^2 - 4x) \le 4 |:2$
$log_{x-3}(x^2-4x) \le 2$
$log_{x-3}(x^2-4x) \le log_{x-3}(x-3)^2$

I случай: $x - 3 < 1 \Rightarrow \boxed{x < 4}$
Тогава $x^2 - 4x \ge (x-3)^2$
$x^2 - 4x \ge x^2 - 6x + 9$
$x \ge 4,5$ и решения няма

II случай: $x - 3 > 1 \Rightarrow \boxed{x > 4}$
Тогава $x^2 - 4x \le (x-3)^2$
и в крайна сметка $x \le 4,5$
Окончателен отговор за случая, а и за цялата задача, е $\boxed{x \in (4; 4,5]}$

Оцветеното в червено е вярно само при $x \in (4; +\infty)$.

Правилно, хич не съм съобразил да извадя модул, извинявам се за което