Пак уравнение...

[S.B.]

2х - lg([tex]5^{2x} + x - 2)[/tex] = lg[tex]4^{x}[/tex]

[Петър Евгениев]

[tex]2x-lg(5^{2x}+x-2)=lg4^{x}[/tex]
ДС:[tex]5^{2x}+x-2>0[/tex], тъй като [tex]5^{2x}>0[/tex], за всяко хикс, то ДС остава да е [tex]x-2>0 \Rightarrow x>2[/tex](,но имаме [tex]+5^{2x}[/tex], значи може и да е 2) [tex]\Rightarrow x\ge2[/tex]
$$lg10^{2x}-lg(5^{2x}+x-2)=lg4^{x} \Rightarrow lg(\frac{10^{2x}}{(5^{2x}+x-2)}=lg4^{x}$$
$$\frac{10^{2x}}{(5^{2x}+x-2)}=4^{x} \Rightarrow \cancel{5^{x}5^{x}2^{x}2^{x}}=\cancel{5^{x}5^{x}2^{x}2^{x}}+x4^{x}-2.4^{x}=0$$
$$x4^{x}-2.4^{x}=0 \Rightarrow 4^{x}(x-2)=0 \Rightarrow 4^{x}\ne0 \Rightarrow x=2$$
Дори с една проверка се вижда:
$$4-lg(625)=lg16$$
$$lg(\frac{10000}{625})=lg16$$
$$lg16=lg16 $$
Тоест [tex]\boxed{x=2}[/tex]

[matst]

Петър не доказва, че ДМ е [tex]x\ge 2[/tex], а само че ДМ съдържа интервала [tex][2;+\infty)[/tex].

ДМ се изчислява по следния начин.
1. [tex]5^{2x}[/tex] е строго растяща и непрекъсната при [tex]x\in(-\infty;+\infty)[/tex]
2. [tex]x-2[/tex] е строго растяща и непрекъсната при [tex]x\in(-\infty;+\infty)[/tex]
Следователно, техният сбор [tex]5^{2x}+x-2[/tex] е строго растяща и непрекъсната при [tex]x\in(-\infty;+\infty)[/tex].

Нека [tex]f(x)=5^{2x}+x-2[/tex] при [tex]x\in(-\infty;+\infty)[/tex]. И така, [tex]f(x)[/tex] е строго растяща и непрекъсната при [tex]x\in(-\infty;+\infty)[/tex].

Пресмятат се стойностите [tex]f(0)=-2[/tex] и [tex]f(1)=24[/tex]. Значи, [tex]f(0)<0[/tex] и [tex]f(1)>0[/tex]. Следователно,
по теоремата на Болцано-Вайерщрасhttps://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BD%D0%B0_%D0%91%D0%BE%D0%BB%D1%86%D0%B0%D0%BD%D0%BE-%D0%92%D0%B0%D0%B9%D0%B5%D1%80%D1%89%D1%80%D0%B0%D1%81_(%D0%B7%D0%B0_%D1%81%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82) съществува число [tex]c\in(0;1)[/tex] такова, че [tex]f(c)=0[/tex].

От строгата монотонност на функцията [tex]f(x)[/tex] следва, че числото [tex]c[/tex] е единственото реално число, за което [tex]f(c)=0[/tex].
Освен това, неравенството [tex]f(x)>0[/tex] има решение [tex]x>c[/tex].

И така, ДМ e [tex]x>c[/tex], където [tex]c[/tex] е някакво число от интервала [tex](0;1)[/tex].

[Петър Евгениев]

Петър не доказва, че ДМ е [tex]x\ge 2[/tex], а само че ДМ съдържа интервала [tex][2;+\infty)[/tex].

ДМ се изчислява по следния начин.
1. [tex]5^{2x}[/tex] е строго растяща и непрекъсната при [tex]x\in(-\infty;+\infty)[/tex]
2. [tex]x-2[/tex] е строго растяща и непрекъсната при [tex]x\in(-\infty;+\infty)[/tex]
Следователно, техният сбор [tex]5^{2x}+x-2[/tex] е строго растяща и непрекъсната при [tex]x\in(-\infty;+\infty)[/tex].

Нека [tex]f(x)=5^{2x}+x-2[/tex] при [tex]x\in(-\infty;+\infty)[/tex]. И така, [tex]f(x)[/tex] е строго растяща и непрекъсната при [tex]x\in(-\infty;+\infty)[/tex].

Пресмятат се стойностите [tex]f(0)=-2[/tex] и [tex]f(1)=24[/tex]. Значи, [tex]f(0)<0[/tex] и [tex]f(1)>0[/tex]. Следователно,
по теоремата на Болцано-Вайерщрасhttps://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BD%D0%B0_%D0%91%D0%BE%D0%BB%D1%86%D0%B0%D0%BD%D0%BE-%D0%92%D0%B0%D0%B9%D0%B5%D1%80%D1%89%D1%80%D0%B0%D1%81_(%D0%B7%D0%B0_%D1%81%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82) съществува число [tex]c\in(0;1)[/tex] такова, че [tex]f(c)=0[/tex].

От строгата монотонност на функцията [tex]f(x)[/tex] следва, че числото [tex]c[/tex] е единственото реално число, за което [tex]f(c)=0[/tex].
Освен това, неравенството [tex]f(x)>0[/tex] има решение [tex]x>c[/tex].

И така, ДМ e [tex]x>c[/tex], където [tex]c[/tex] е някакво число от интервала [tex](0;1)[/tex].

В случая беше достатъчно показаното от мен.
Но това, което сте написали е много полезно и определено ще обърна внимание!