логаритмично уравнение и неравенство

[антонийо]

IMG_20190127_152224.jpg (200.78 KiB) Прегледано 1925 пъти

[S.B.]

[tex]log_{2 }(x + 1) + log_{2 }(3x - 1) = 2[/tex]
Д.М. : $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 ; 3x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{3} \Rightarrow$ Д.М. $x \in(\frac{1}{3} ; +\infty)$
[tex]log_{2 }(x + 1)(3x - 1) = 2log_{2 }2 \Leftrightarrow log_{2 }(x + 1)(3x - 1) = log_{2 }2^{2} \Leftrightarrow (x + 1)(3x - 1) = 4 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]3x^{2} + 2x - 5 = 0[/tex] с корени $x_{1 }= - \frac{10}{6} \notin $ Д.М. и $x_{2 } = 1 \in$ Д.М.
Отговор: $ x = 1 $

[антонийо]

може ли и неравенството

[S.B.]

Може,разбира се:
[tex]3.5^{2x - 1} - 2.5^{x - 1} \ge 0,2 \Leftrightarrow 3.5^{2x}.\frac{1}{5} - 2.5^{x}.\frac{1}{5} \ge \frac{2}{10} \Leftrightarrow \frac{3}{5}.5^{2x} - \frac{2}{5}.5^{x} - \frac{1}{5} \ge 0[/tex] умножавам по $5 > 0$ и се получава:
[tex]3.5^{2x} - 2.5^{x} - 1 \ge 0[/tex] Полагам $5^{x} = t > 0$ и получавам: $3t^{2} - 2t -1 = 3(t - 1)(t + \frac{1}{3})\ge 0$
Решаваш по метода на интервалите и получаваш : $ t\in(-\infty; - \frac{1}{3}] \cup [1 ; + \infty)$
Но $t>0 \Rightarrow t\in[1;+\infty) \Rightarrow t\ge 1 \Rightarrow 5^{x} \ge 1 \Leftrightarrow 5^{x} \ge 5^{0} \Rightarrow x\ge 0$