Произведение от прогресия с логаритми

[christotaku]

Търси се най-голямото естествено число, което е по-малко от следното произведение: [tex]log_{2 }3×log_{3 }4×log_{4 }5×.....×log_{2019 }2020[/tex]

[Davids]

Ползваме правилото за смяна на основата: $log_ab = \frac{log_cb}{log_ca}$, и представяме всеки множител като частно от логаритми при основа 2:
$log_23.\frac{log_24}{log_23}.\frac{log_25}{log_24}....\frac{log_22020}{log_22019} = log_22020$ (понеже всичко се съкращава).
Понеже $log_22048 = 11$, то най-близкото по-малко естествено лисло е 10.