И още уравнения:

[S.B.]

Да се решат уравненията:

а) [tex]log_{16x }x^{3} + log_{\frac{x}{2} }\sqrt{x} = 2[/tex]

б) $2x - lg(5^{2x} + x - 2) = lg4^{x}$

в) $log_{x }2.log_{2x }2 = log_{4x }2$

[Knowledge Greedy]

1) Решени. След смяна на основата и полагане [tex]log_2x=t[/tex]
получаваме дробното уравнение [tex]\frac{3t}{t+4}+\frac{\frac{1}{2}t}{t-1}=2[/tex]
еквивалентно, в дефиниционното си множество, на квадратното уравнение [tex]\frac{3}{2}t^2-7t-8=0[/tex] с корени [tex]t_1=\frac{8}{3}[/tex] и [tex]t_2=2[/tex]
Връщането на полагането дава [tex]x_1=2\sqrt{2}[/tex] и [tex]x_2=2[/tex], от които само [tex]x=2\sqrt{2}[/tex] е корен, защото е число от ДМ на първоначалното уравнение.

2) След преобразу̀вания, еквивалентното уравнение [tex]4^x(x-2)=0[/tex] на даденото, дава единствения корен на това уравнение [tex]x=2[/tex].

3) Отново след смяна на основата, аз предпочетох [tex]x[/tex], се получи дробно уравнение - еквивалентно на кубично с [tex]t_1=0[/tex] и [tex]t_{2,3}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]
При връщане на полагането първият корен [tex]t=0[/tex] не води до уравнение с позволени корени, но другите два са от ДМ: [tex]x_{1,2}=2^{\pm \sqrt{2}}[/tex]