Логаритмично неравенство

[skadevil]

Ще може ли разяснения за тази задача, защото когато основата е неизвестно, трябва да разгледаме два случая, но тези задачи са ми много объркващи
[tex]log_{х }\frac{4x+5}{6-5x} < -1[/tex]

[S.B.]

[tex]log_{х }\frac{4x+5}{6-5x} < -1[/tex]

[tex]log_{x }\frac{4x + 5}{6 - 5x} < - 1 \Leftrightarrow log_{x }\frac{4x + 5}{6 - 5x} < - log_{x }x \Leftrightarrow log_{x }\frac{4x +5}{6 - 5x} < log_{x }\frac{1}{x}[/tex]

Определям Д.М.:
$1) x > 0 , x \ne 1 \Rightarrow x \in (0 ; 1)\cup (1 ; +\infty)$
$2) \displaystyle\frac{4x + 5}{6 - 5x} >0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{4(x + \displaystyle\frac{5}{4})}{5(\displaystyle\frac{6}{5} - x)} > 0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{4}{5}(x + \displaystyle\frac{5}{4})(x - \displaystyle\frac{6}{5}) < 0 \Rightarrow x \in(-\displaystyle\frac{4}{5} ; \displaystyle\frac{6}{5})$
Окончателно Д.М. $ x \in (0 ; \frac{6}{5}), x \ne 1$

Ще разгледам два случая:

$\begin{array}{|l} 0 < x < 1 \\ \displaystyle\frac{4x +5}{6 - 5x} > \displaystyle\frac{1}{x} \end{array}$ $\cup$ $\begin{array}{|l} 1 < x < \displaystyle\frac{6}{5} \\ \displaystyle\frac{4x + 5}{6 - 5x} < \displaystyle\frac{1}{x} \end{array}$

$1) x \in ( 0 ; 1)$
[tex]\displaystyle\frac{4x + 5}{6 - 5x} > \displaystyle\frac{1}{x} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{4x + 5}{6 - 5x} - \displaystyle\frac{1}{x} > 0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{4(x + 3)(x - \displaystyle\frac{1}{2})}{5x(\displaystyle \frac{6}{5} - x)} > 0 \Leftrightarrow x(x + 3)(x - \displaystyle\frac{1}{2})(x - \displaystyle\frac{6}{5}) < 0[/tex]
Получава се : $ x\in (- 3; 0) \cup ( \frac{1}{2} ; \frac{6}{5})$
От $\begin{cases} x \in (0 ; 1) \\ x \in (-3; 0) \cup (\displaystyle\frac{1}{2} ; \displaystyle\frac{6}{5}) \end{cases} \Rightarrow x\in (\displaystyle\frac{1}{2} ; 1)$

$2) x \in (1;\frac{6}{5}$
[tex]\displaystyle\frac{4x + 5}{6 - 5x} < \frac{1}{x}[/tex]
След аналогични в първия случай преобразования се получава неравенството:
$x(x + 3)(x - \frac{1}{2})(x - \frac{6}{5}) > 0$
Удовлетворява се за $x\in ( - \infty; - 3)\cup (0 ; \frac{1}{2}) \cup (\frac{6}{5} ; +\infty)$
От $\begin{cases} x \in (-\infty;-3)\cup (0 ; \displaystyle\frac{1}{2}) \cup (\displaystyle\frac{6}{5} ; +\infty)\\ x \in (1 ; \displaystyle\frac{6}{5} )\end{cases} \Rightarrow $ няма решение в този случай.

Остава,че отговорът е: $$x\in ( \frac{1}{2} ; 1)$$

[skadevil]

Благодаря много!

[skadevil]

$2) \displaystyle\frac{4x + 5}{6 - 5x} >0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{4(x + \displaystyle\frac{5}{4})}{5(\displaystyle\frac{6}{5} - x)} > 0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{4}{5}(x + \displaystyle\frac{5}{4})(x - \displaystyle\frac{6}{5}) < 0 \Rightarrow x \in(-\displaystyle\frac{4}{5} ; \displaystyle\frac{6}{5})$

Само ей тук получавам [tex]х\in(-\frac{5}{4},\frac{6}{5})[/tex], но то това не влияе на останалото решение, защото обединеният интервал е същия

[S.B.]

$2) \displaystyle\frac{4x + 5}{6 - 5x} >0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{4(x + \displaystyle\frac{5}{4})}{5(\displaystyle\frac{6}{5} - x)} > 0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{4}{5}(x + \displaystyle\frac{5}{4})(x - \displaystyle\frac{6}{5}) < 0 \Rightarrow x \in(-\displaystyle\frac{4}{5} ; \displaystyle\frac{6}{5})$

Само ей тук получавам [tex]х\in(-\frac{5}{4},\frac{6}{5})[/tex], но то това не влияе на останалото решение, защото обединеният интервал е същия

Като погледнеш това,което съм написала :
[tex]\frac{4}{5}(x +\frac{5}{4} )(x - \frac{6}{5})< 0 \Rightarrow x \in (- \frac{4}{5} ; \frac{6}{5})[/tex] повече от очевидно е,че съм допуснала техническа грешка.
Разбира се ,че е $x \in (- \frac{5}{4}; \frac{6}{5})$

[skadevil]

Ех тези логаритми... Не знам какво пак направих грешно
Дадено е това неравенство [tex]log_{\frac{25-x^{2}}{16} } \frac{24-2x-x^{2}}{14} > 1[/tex]
Преработвам го и става [tex]log_{\frac{25-x^{2}}{16} } \frac{24-2x-x^{2}}{14} > log_{\frac{25-x^{2}}{16} } \frac{25-x^{2}}{16}[/tex]
ДМ: [tex]\begin{array}{|l} \frac{25-x^{2}}{16} >0 \\ \frac{25-x^{2}}{16} \ne 1 \\ \frac{24-2x-x^{2}}{14}>0 \end{array}[/tex]
и интервалът който получих след като засякох решенията е [tex]х\in(-5,-3)(-3,3)(3,4)[/tex]
Обаче като разгледам двете условия за [tex]x\in(0,1)[/tex] и [tex]x\in(1,4)[/tex] при [tex]х\ne3[/tex] получавам, че и в двата случая няма решение. Нещо тотално се замотах. Ако може някой да ми разясни тези интервали.
За [tex]\frac{24-2x-x^{2}}{14}<\frac{25-x^{2}}{16}[/tex] получавам отг. [tex]х\in(-\infty-17,1+\infty)[/tex]
За [tex]\frac{24-2x-x^{2}}{14}>\frac{25-x^{2}}{16}[/tex] получавам отг. [tex]х\in(-17,1)[/tex]

[math10.com]

Това е защото трябва да разгледаш 2 случая.
първия е когато основата е по-малка от 1 , а втория когато е по-голяма от 1.В първия случай знака на неравенството се обръща

[123a]

Това е защото трябва да разгледаш 2 случая.
първия е когато основата е по-малка от 1 , а втория когато е по-голяма от 1.В първия случай знака на неравенството се обръща

Да добавим само- но по-голяма от 0

[skadevil]

Обаче като разгледам двете условия за [tex]x\in(0,1)[/tex] и [tex]x\in(1,4)[/tex] при [tex]х\ne3[/tex] получавам, че и в двата случая няма решение. Нещо тотално се замотах. Ако може някой да ми разясни тези интервали.
За [tex]x\in(0,1)[/tex]
[tex]\frac{24-2x-x^{2}}{14}<\frac{25-x^{2}}{16}[/tex] получавам отг. [tex]х\in(-\infty-17,1+\infty)[/tex]

За [tex]x\in(1,4)[/tex]
[tex]\frac{24-2x-x^{2}}{14}>\frac{25-x^{2}}{16}[/tex] получавам отг. [tex]х\in(-17,1)[/tex]

Аз това го правя, но нещо не ми се засичт интервалите.

[S.B.]

Май наистина си оплел интервалите Какъв е отговорът?

[skadevil]

Май наистина си оплел интервалите Какъв е отговорът?

Мхм... Отговорът е [tex]х\in(-3,1)(3,4)[/tex]

[math10.com]

А защо разглеждаш [tex]x\in (0;1)[/tex] и [tex]x\in (1;4)[/tex]

Трябва да разглеждаш [tex]\frac{25-x^2}{16} \in (0;1) \Rightarrow x\in (-5 ; -3) \cup (3;4)[/tex]
и [tex]\frac{25-x^2}{16} >1 \Rightarrow x\in (-3;3)[/tex]

[S.B.]

Дадено е това неравенство [tex]log_{\frac{25-x^{2}}{16} } \frac{24-2x-x^{2}}{14} > 1[/tex]

[tex]log_{\frac{25 - x^{2}}{16} }\frac{24 - 2x - x^{2}}{14} > 1 \Leftrightarrow log_{\frac{25 - x^{2}}{16}}\frac{24 -2x - x^{2}}{16}> log_{\frac{25 -x^{2}}{16} }\frac{25 - x^{2}}{16}[/tex]

Определяне на Д.М.

$\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{25 - x^{2}}{16}>0 \\ \displaystyle\frac{25 - x^{2}}{16} \ne 1\\ \displaystyle \frac{24 - 2x - x^{2}}{14} > 0\end{array}$

$\frac{25 - x^{2}}{16} > 0 \Leftrightarrow 25 - x^{2} > 0 \Leftrightarrow (5 + x)(5 - x) > 0 \Rightarrow x\in ( - 5 ; 5 ) $
$\frac{25 - x^{2}}{16} \ne 1 \Leftrightarrow \frac{25 - x^{2}}{16} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \frac{25 - x^{2} - 16}{16} \ne 0 \Leftrightarrow \frac{9 - x^{2}}{16} \ne 0 \Leftrightarrow (3 + x)(3 - x) \ne 0 \Rightarrow x \ne \pm 3$
$\frac{24 - 2x - x^{2}}{14} >0 \Leftrightarrow \frac{- (x - 4)(x + 6)}{14} > 0 \Leftrightarrow (x - 4)(x + 6) < 0 \Rightarrow x \in (- 6 ; 4)$
От $\begin{cases} x \in ( - 5 ; 5) \\ x \ne \pm 3\\ x\in ( - 6 ; 4)\end{cases} \Rightarrow$ Д.М. $ x\in (- 5;- 3)\cup (-3 ; 3)\cup ( 3 ; 4)$

1 - ви случай:
$\frac{25 - x^{2}}{16} > 1 \Leftrightarrow \frac{25 - x^{2}}{16} - 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{9 - x^{2}}{16}> 0 \Leftrightarrow (3 + x)(3 - x)> 0 \Rightarrow$

$ x\in ( - 3 ; 3 )$

$\frac{24 - 2x - x^{2}}{14}> \frac{25 - x^{2}}{16} \Leftrightarrow \frac{17 + 16x - x^{2}}{112} > 0 \Leftrightarrow \frac{- ( x + 17)(x - 1)}{112} > 0 \Leftrightarrow (x + 17)(x - 1) <0 \Rightarrow$

$x \in ( -17 ; 1)$

От $\begin{cases} x \in ( - 3; 3) \\ x \in (- 17; 1) \end{cases} \Rightarrow $ $$x \in ( - 3; 1)$$

2 - ри случай:
$\frac{25 - x^{2}}{16} < 1 \Leftrightarrow \frac{25 - x^{2} - 16}{16} < 0 \Leftrightarrow 9 - x^{2} < 0 \Leftrightarrow (3 + x)(3 - x) < 0 \Rightarrow x\in( - \infty; - 3) \cup (3 ; + \infty)$
От $\begin{cases}Д.М. x \in (-5; - 3)\cup(-3;3) \cup(3;4) \\ x\in( -\infty; - 3)\cup (3 ; + \infty)\end{cases} \Rightarrow x \in ( - 5 ; - 3)\cup (3 ; 4)$

$\frac{24 - 2x - x^{2}}{14} < \frac{25 - x^{2}}{16} \Leftrightarrow \frac{-(x^{2} + 16x - 17)}{112} < 0 \Leftrightarrow (x + 17)(x - 1)> 0 \Rightarrow x\in (- \infty ; - 17)\cup ( 1; +\infty)$
От $\begin{array}{|l} x\in( - 5 ; - 3) \cup (3 ; 4)\\ x \in ( - \infty; - 17)\cup ( 1 ; + \infty )\end{array} \Rightarrow$ $$ x \in ( 3;4) $$

[S.B.]

Правило за решаване на неравенства от типа:
$$log_{a(x) }f(x) \begin{array}{|l} < \\ > \end{array} log_{a(x) }\varphi(x)$$

1) Определяне на Д.М. :

[tex]\begin{array}{|l} a(x) > 0 \\ a(x) \ne 1\\ f(x) > 0\\\varphi(x) > 0\end{array}[/tex]

1- ви случай
$$ a(x) > 1$$ Съобразяваш с Д.М. и определяш интервала над който решаваш $$ f(x) \begin{array}{|l} < \\ > \end{array} \varphi(x)$$
като запазваш първоначалния знак на неравенството

2-ри случай
$$a(x) < 1$$ Съобразяаш с Д.М. и определяш интервала над който решаваш $$f(x)\begin{array}{|l} > \\ < \end{array} \varphi(x)$$
като обръщаш първоначалния знак на неравенството

[skadevil]

Благодаря адски много за помощта

[skadevil]

$$ a(x) > 1$$ Съобразяваш с Д.М. и определяш интервала над който решаваш

А става ли напр. в 1 случай да си поставя основата > 1 и да си намеря интервала. След това да си реша неравенството, да намеря и неговия интервал и да го засеча с този, който се получава при основа > 1 [tex]\Rightarrow[/tex] това са ми решенията за 1 случай.
После правя същото за 2 само, че намирам интервала при, който основата е между 0 и 1. Решавам неравенството, като внимавам за знака, като го обръщам и като реша наравенството да засеча неговия интервал с този, който съм получил за основата между 0 и 1 [tex]\Rightarrow[/tex] това са ми решенията за 2 случай .
Накрая да нанеса отговорите за 1 и 2 случай и тогава да ги съобразя с ДС и да намеря окончателните решения.
Не знам дали го обясних добре , но например горната задача:
Интервалът на ДС е [tex]х\in(-5,-3)(-3,3)(3,4)[/tex]
За 1 случай получаваме:
$\frac{25 - x^{2}}{16} > 1 \Leftrightarrow \frac{25 - x^{2}}{16} - 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{9 - x^{2}}{16}> 0 \Leftrightarrow (3 + x)(3 - x)> 0 \Rightarrow$

$ x\in ( - 3 ; 3 )$

$\frac{24 - 2x - x^{2}}{14}> \frac{25 - x^{2}}{16} \Leftrightarrow \frac{17 + 16x - x^{2}}{112} > 0 \Leftrightarrow \frac{- ( x + 17)(x - 1)}{112} > 0 \Leftrightarrow (x + 17)(x - 1) <0 \Rightarrow$

$x \in ( -17 ; 1)$

От $\begin{cases} x \in ( - 3; 3) \\ x \in (- 17; 1) \end{cases} \Rightarrow $ $$x \in ( - 3; 1)$$

За 2 случай получаваме аналогично:
Когато основата е между 0 и 1 [tex]х\in(-5,-3)(3,5)[/tex]
Решението на неравенството е [tex]х\in(-\infty,-17)(1,+\infty)[/tex]
При което след като ги засечем тези интервали се получава [tex]х\in(3,5)[/tex]

Накрая:
Засичаме отг от 1 и 2 случай т.е $$x \in ( - 3; 1)$$ и [tex]х\in(3,5)[/tex] с ДС [tex]х\in(-5,-3)(-3,3)(3,4)[/tex] и окончателно получаваме [tex]х\in(- 3; 1)(3,4)[/tex]

[S.B.]

Когато внимаваш и знаеш какво правиш - може.Важно е да знаеш къде можеш да си откриеш грешките!