Сума с логаритми

[Гост]

[tex]\sum_{n=2}^{ \infty }log _{2 } \frac{1- \frac{1}{n} }{1- \frac{1}{n+1} }[/tex]

[Davids]

[tex]\sum_{n=2}^{ \infty }log _{2 } \frac{1- \frac{1}{n} }{1- \frac{1}{n+1} }[/tex]

Първо ползваме основното чудо на логаритъма - превръща сумите в произведения. Значи
$S = \sum_{n=2}^{ \infty }log _{2 } \frac{1- \frac{1}{n} }{1- \frac{1}{n+1} } = log _{2 } \prod_{n=2}^{ \infty } \frac{1- \frac{1}{n} }{1- \frac{1}{n+1} }$

После пък забелязваме, че така полученото произведение е супер яко, понеже телескопично се съкращават всички следващи членове до безкрайност, което оставя само първия в числителя и така получаваме:
$S = log_2\left(1-\frac{1}{2}\right) = -1$

За коректност е редно да въведем редица от парциалните суми и да разгледаме нейния общ член с неговата граница в $+\infty$, но излиза същото, така че... Успех!