Параметър

[Гост]

При кои стойности на реалния параметър а минималната стойност на израза [tex]log_{2 } ^{2 }(ax)+log_{2 } ^{2 }( \frac{1-a}{x})[/tex] е максимална?

[peyo]

При кои стойности на реалния параметър а минималната стойност на израза [tex]log_{2 } ^{2 }(ax)+log_{2 } ^{2 }( \frac{1-a}{x})[/tex] е максимална?

Тук ще има доста писане и намиране на производни на функции във функции, затова ще ползваме Sympy предимно:

Първо ще намерим производната по x:

$f' = \frac{2 \log{\left(a x \right)}}{x \log{\left(2 \right)}^{2}} - \frac{2 \log{\left(\frac{1 - a}{x} \right)}}{x \log{\left(2 \right)}^{2}}$

И ще намерим екстремумите:
$f'=0$

$\frac{2 \log{\left(a x \right)}}{x \log{\left(2 \right)}^{2}} - \frac{2 \log{\left(\frac{1 - a}{x} \right)}}{x \log{\left(2 \right)}^{2} }= 0$

$2 \log{\left(a x \right)} - 2 \log{\left(\frac{1 - a}{x} \right)}= 0$

$ \log{\left(a x \right)} = \log{\left(\frac{1 - a}{x} \right)}$

$ a x = \frac{1 - a}{x} $

$ x^2 = \frac{1 - a}{a} $

$ x = \pm \sqrt{\frac{1 - a}{a}} $

Сега знаем за кои x имаме екстремум, но не знаем дали е минимум или максимум. Засега няма да обръщаме внимание на това. Но на нас ни трябва да знаем колко е $a$, когато имаме минимум.

In [38]: print(latex(f.subs(x,sqrt((1 - a)/a))))
$f(x_1)=\frac{\log{\left(a \sqrt{\frac{1 - a}{a}} \right)}^{2}}{\log{\left(2 \right)}^{2}} + \frac{\log{\left(\frac{1 - a}{\sqrt{\frac{1 - a}{a}}} \right)}^{2}}{\log{\left(2 \right)}^{2}}$

In [40]: print(latex(diff(f.subs(x,sqrt((1 - a)/a)))))
$f_1'=(\frac{2 \sqrt{\frac{1 - a}{a}} \left(\frac{a \left(\frac{1}{2 a} + \frac{1 - a}{2 a^{2}}\right)}{\sqrt{\frac{1 - a}{a}}} - \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - a}{a}}}\right) \log{\left(\frac{1 - a}{\sqrt{\frac{1 - a}{a}}} \right)}}{\left(1 - a\right) \log{\left(2 \right)}^{2}} + \frac{2 \left(\frac{a^{2} \sqrt{\frac{1 - a}{a}} \left(- \frac{1}{2 a} - \frac{1 - a}{2 a^{2}}\right)}{1 - a} + \sqrt{\frac{1 - a}{a}}\right) \log{\left(a \sqrt{\frac{1 - a}{a}} \right)}}{a \sqrt{\frac{1 - a}{a}} \log{\left(2 \right)}^{2}}$

In [42]: print(latex(solve(diff(f.subs(x,sqrt((1 - a)/a))))))
$\left[ \frac{1}{2}, \ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}, \ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right]$

По съшия начин за втората стойност $x_2$:

In [43]: print(latex(solve(diff(f.subs(x,-sqrt((1 - a)/a))))))
$\left[ \frac{1}{2}\right]$

Сега ние не знаем, дали при $x_1$ или при $x_2$ имаме минимум, но единствената реална стоност е $1/2$ и в двата случая, затова ние вече знаем, че това е отговора на задачата.

Не е казано в задачата, но да видим дали можем да намерим колко е тази минимална максимална стойност:

In [52]: print(latex( [ f.subs(a,1/2).subs(x,val) for val in solve(diff(f.subs(a,1/2)))] ))
$\left[ \frac{2 \left(-0.693147180559945 + i \pi\right)^{2}}{\log{\left(2 \right)}^{2}}, \ \frac{0.960906027836403}{\log{\left(2 \right)}^{2}}\right]$

In [53]: float(0.960906027836403/log(2)**2)
Out[53]: 2.0000000000000004

Оказа се 2.

[Davids]

...
Оказа се 2.

Не проследих цялото решение в детайли, но само искам да вметна, че самата функция за $x$ е въобще дефинирана само за $a\in (0, 1)$, при което дефиниционното множество е $x > 0$.

[peyo]

...
Оказа се 2.

Не проследих цялото решение в детайли, но само искам да вметна, че самата функция за $x$ е въобще дефинирана само за $a\in (0, 1)$, при което дефиниционното множество е $x > 0$.

А, 2 е стойността на функцията. Аз не съм го дал по-горе при кое x се получава. Това ще бъде при:

In [56]: solve(diff(f.subs(a,1/2)))
Out[56]: [-1.00000000000000, 1.00000000000000]

Явно при $x=1$ .

[Davids]

А, така може. Просто въпросът беше "за кои стойности на параметъра" се получава тази максимална минимална стойност.

[Гост]

[tex]a \rightarrow 0^{+ }\lor a \rightarrow 1^{- }[/tex]