Решете логаритмичното уравнение

[Гост]

Благодаря предварително за решението на задачата!

[nikola.topalov]

Уравнението е дефинирано в множеството [tex]D=\{x\in\mathbb{R}|2x^4-7x^2+8>0, x^4+2>0\}[/tex] или само [tex]D=\{x\in\mathbb{R}\}[/tex], понеже двете неравенства са строго положителни за [tex]\forall x\in\mathbb{R}[/tex]. Основите на двата логаритъма са равни и след антилогаритмуваме получаваме [tex]2x^4-7x^2+8=x^4+2[/tex], откъдето [tex]x^2\in\{1,6\}[/tex] и [tex]x\in\{-\sqrt{6},-1,1,\sqrt{6}\}\subset D[/tex].

[S.B.]

[tex]\log_{0,3 }( 2 x^{4 } - 7 x^{2 } + 8) = \log_{0,3 } ( x^{4 } + 2)[/tex]

Д.М.:
[tex]x^{4 } + 2 >0[/tex] за [tex]\forall x[/tex]
[tex]2 x^{4 } - 7 x^{2 } + 8 > 0[/tex] за [tex]\forall x[/tex] защото [tex]D = 49 - 64 < 0[/tex] и коефициента пред [tex]x^{4 }> 0[/tex]
[tex]\Rightarrow x \in (- \infty ; + \infty )[/tex]

[tex]\log_{0,3 }(2 x^{4 } - 7 x^{2 } + 8) = \log_{0,3 }( x^{4 } + 2) \Leftrightarrow 2x^{4 } - 7 x^{2 } + 8 = x^{4 } + 2 \Leftrightarrow x^{4 } - 7 x^{2 } + 6 =0[/tex]
Нека [tex]x^{2 } = t > 0[/tex]
Замествам и получавам:
[tex]t^{2 } - 7t + 6 = 0 , t_{1 } = 6 > 0 , t_{2 } = 1 > 0[/tex]
Връщам субституцията:
[tex]x ^{2 } = t_{1 } \Leftrightarrow x^{2 } = 6 \Rightarrow x_{1,2 } = \pm \sqrt{6}[/tex]
[tex]x^{2 } = t_{2 } \Leftrightarrow x^{2 } = 1 \Rightarrow x_{3,4} = \pm 1[/tex]

[Гост]

Много Ви благодаря за помощта!