Логаритмично неравенство

[nikola.topalov]

Да се реши неравенството: $$\log_2(6-2^x)\log_x 2\leq 1$$

[Knowledge Greedy]

Допустими стойности на неизвестното
[tex]\left ( 0;1 \right )\cup \left (1; log_{2}6 \right )[/tex]

След преминаване към една и съща основа [tex]2[/tex], неравенството добива вида [tex]\frac{log_{2}(6-2^x) }{log_{2}x} \le 1[/tex]
Единицата вляво [tex]\frac{log_{2}(6-2^x) }{log_{2}x}-1 \le 0 \Leftrightarrow[/tex]


[tex]\Leftrightarrow \frac{log_{2} \frac{ 6-2^x}{x} }{log_{2}x} \le 0[/tex]

И неравенството се разпада на съвкупност от две системи - според знаците (различни!) на числителя и знаменателя
[tex]\left\{\begin{matrix}
{\left|\begin{matrix}
log_{2}{\frac{ 6-2^x}{x}} & \le 0 \\
{log_{2}x} & >0 & \\
\end{matrix}\right.} & \\
& \\
{\left|\begin{matrix}
log_{2}{\frac{ 6-2^x}{x}} & \ge 0 \\
{log_{2}x} & <0 & \\
\end{matrix}\right.} & \\
\end{matrix}\right.[/tex]

Антилогаритмуваме
[tex]\left\{\begin{matrix}
{\left|\begin{matrix}
\frac{ 6-2^x}{x} & \le 1 \\
{x} & >1 & \\
\end{matrix}\right.} & \\
& \\
{\left|\begin{matrix}
\frac{ 6-2^x}{x} & \ge 1 \\
{x} & <1 & \\
\end{matrix}\right.} & \\
\end{matrix}\right.[/tex]

Решенията на втората система са [tex]\forall x\in (0; 1)[/tex]
Решенията на първата система са [tex]\forall x\in [2; log_2{6})[/tex]

Отговорът на задачата е обединението на тези интервали.

[Гост]

to:x [tex]\sum_{x=0}^{10 }x^2 \sum_{x=0}^{10 }x^2[/tex]
[color=#00FFFF][color=#40FFBF][color=#40FF00][color=#40FF00][color=#00FF00][color=#40FF00] [img]

Скрит текст: покажи

Код: Избери целия код

[b][color=#00BF40][color=#40BF40]%20:evil:%20%20:evil:%20[tex]\sum_{x=0}^{10%20}x^2%20\begin{array}{|l}%20x%20+%20y%20=%204%20\\%20x%20-%20y%20=%200%20\end{array}%20\bot%20\%%20\cup%20[/tex][/color][/color][/b]

[/img][/color][/color][/color][/color][/color][/color]

Да се реши неравенството: $$\log_2(6-2^x)\log_x 2\leq 1$$