Сравняване на логаритми

[Гост]

Моля за идея по задача 64 или 65.

[ptj]

64.)
[tex]log_2 4=2[/tex]
Нека [tex]log_5 6=x>1[/tex], тогава [tex]log_6 5= \frac{1}{x}[/tex].

[tex]log_5 6+log_6 5=x+ \frac{1}{x}= \frac{x+1}{x}[/tex].

[tex]\frac{x+1}{x}<2 \Leftrightarrow x+1<2x \Leftrightarrow 1<x[/tex]
(съществено е, че [tex]x>0[/tex])

Отговор: [tex]b<c[/tex]

65.)

[tex]5^{log_{\sqrt{5}} 2 }=5^{log_5 (2^2) }=5^{(2.log_5 2)}=(5^{log_5 2})^2=2^2=4[/tex]

Продължението аналогично на 64.),
но първо смени основите на логаритмите да са цели числа.

[tex]log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}=log_ {2^{(-1)}}3^{(-1)}=(log_2 3)^{-1}[/tex]

[Гост]

Защо?

[pal702004]

Допуснал е грешка $x+\frac 1 x>=2$ (неравенство м/у средно аритм. и ср. геометрично) за всяко $x>0$. Така че $b>c$

[ptj]

Да, имам техничска грешка, защото [tex]x>1[/tex] и неравенствата трябва да са в обратна посока.

[pal702004]

Да, имам техничска грешка, защото [tex]x>1[/tex] и неравенствата трябва да са в обратна посока.

Просто при привеждане под общ знаменател числителя трябва да е $x^2+1$, а не $x+1$

A $x^2+1 \ge 2x \;\; \forall x$

[ptj]

Тотална грешка.

[ammornil]

Защо?

[tex]log_{b}{a}=\frac{1}{log_{a}{b}}[/tex]