Логаритмично уравнение

[Гост]

[tex]\log _{2x+1} (5+8x-4x^2) + \log _{5-2x} (1+4x+4x^2) = 4[/tex]

[S.B.]

[tex]\log _{2x+1} (5+8x-4x^2) + \log _{5-2x} (1+4x+4x^2) = 4[/tex]

Определям Д.М. за $x$ :
[tex]5 + 8x - 4 x^{2 } = - 4 x^{2 } + 8x + 5 = - 4(x - \frac{5}{2})(x + \frac{1}{2}) = 4 . \frac{5 - 2x}{2}. \frac{1 + 2x}{2} = (5 - 2x)(1 + 2x)[/tex]

[tex]1 + 4x + 4 x^{2 } = (2x + 1)^{2 }[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} (5 - 2x)(1 + 2x) > 0 \\ 5 - 2x> 0\\2x + 1 >0 \end{array} \Leftrightarrow x\in (- \frac{1}{2} ; \frac{5}{2} )[/tex]

$$\text Д.М.: x \in (- \frac{1}{2}; \frac{5}{2} )$$

[tex]\log_{2x + 1 }(5 + 8x -4 x^{2 }) + \log_{5 - 2x }(1 + 4x + 4 x^{2 }) = 4 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\log_{2x +1 }(5 - 2x)(1 + 2x) + \log_{5 - 2x } (2x + 1)^{2 } = 4[/tex]

[tex]\log_{2x +1 }(5 - 2x) + \log_{2x +1 } (2x + 1) + 2 \log_{5 - 2x }(2x + 1) = 4[/tex]

Преминавам към основа $2x + 1$ :

[tex]\log_{2x +1 } (5 -2x) + 1 + \frac{2. \log_{2x +1 }(2x + 1) }{ \log_{2x + 1 }(5 - 2x) } = 4 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\log_{2x +1 } (5 - 2x) + \frac{2}{ \log_{2x +1 }(5 - 2x) } = 3[/tex]

Полагам [tex]\log_{2x + 1 }(5 - 2x) = t \ne 0[/tex]

[tex]t^{2 } - 3t + 2 = 0[/tex]
[tex]t_{1 } = 1; t_{2 } = 2[/tex]

1) [tex]t_{1 } = 1 \Rightarrow \log_{2x +1 }(5 - 2x) = 1 \Rightarrow 2x+1 = 5 - 2x \Leftrightarrow 4x = 4[/tex]
[tex]\Rightarrow x = 1 \in[/tex] Д.М.

2)[tex]t_{2 } = 2 \Leftrightarrow \log_{2x +1 }(5 - 2x) = 2 \Leftrightarrow (2x+1)^{2 } = 5 - 2x \Leftrightarrow 4 x^{2 } + 6x - 4 = 0 , D = 25, x_{1,2 } = \frac{- 3 \pm 5}{4}[/tex]
[tex]x_{1 }= -2 \notin[/tex] Д.М.
[tex]x_{2 } = \frac{1}{2} \in[/tex] Д.М.

Отговорите на уравнението са :
$$x_{1 } = \frac{1}{2} , x_{2 } = 1 $$

[KOPMOPAH]

Първо определяме дефиниционната област... Не, първо се учим да питаме възпитано, използвайки някоя от вълшебните думички. Второ - дефиниционната област - основите на логаритмите трябва да са положителни числа, различни от $1$ и логаритмуваните изрази трябва да са положителни. Оттам получаваме $x \ne$ "разни неща" или $x \cancel{\in}$ "разни интервали".

Нататък:

$~~~~\log _{2x+1} \underbrace{(5+8x-4x^2)}_{=\displaystyle(5-2x)(2x+1)} + \log _{5-2x} \underbrace{(1+4x+4x^2)}_{=\displaystyle(2x+1)^2} = 4\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \log _{2x+1}(5-2x)+\log _{2x+1}(2x+1)+2\log _{5-2x}(2x+1)=4\Leftrightarrow$

$ \Leftrightarrow \log _{2x+1}(5-2x)+2\frac 1{\log _{2x+1}(5-2x)}=3$

Полагаме $ \log _{2x+1}(5-2x)=u$ и решаваме новополученото квадратно уравнение. Неговите корени са $u_1=1$ и $u_2=2$, връщаме субституцията и т.н.

P.S. Писали сме едновременно с колегата S.B.

[S.B.]

Определям Д.М. за $x$ :


$$\text Д.М.: x \in (- \frac{1}{2}; \frac{5}{2} )$$

Пропуснала съм да отбележа, че :[tex]x \ne 0 , x \ne 2[/tex], защото [tex]2x + 1 \ne 1 , 5 - 2x \ne 1[/tex]
Съжалявам!