Намерете X

[Гост]

Това е задача от един тест, който ми дадоха. Оригинално задачата е така: [tex]\frac{4}{\log_{4}x + 4} + \frac{5}{\log_{4}x + 5} = 2[/tex]

Горната задача е лесна, просто полагаме логаритъма и получаваме квадратно уравнение и след това намираме Х.

Обаче аз не видях, че логаритъма не съдържа "+ 4" и "+ 5" и получих следната задача, която решавах два часа и нищо не можах да направя:

[tex]\frac{4}{\log_{4}(x+4)} + \frac{5}{\log_{4}(x+5)} = 2[/tex]

Ето ми въпроса: възможно ли е решението на тази задача? Ако да, как???

[peyo]

Това е задача от един тест, който ми дадоха. Оригинално задачата е така: [tex]\frac{4}{\log_{4}x + 4} + \frac{5}{\log_{4}x + 5} = 2[/tex]

Горната задача е лесна, просто полагаме логаритъма и получаваме квадратно уравнение и след това намираме Х.

Обаче аз не видях, че логаритъма не съдържа "+ 4" и "+ 5" и получих следната задача, която решавах два часа и нищо не можах да направя:

[tex]\frac{4}{\log_{4}(x+4)} + \frac{5}{\log_{4}(x+5)} = 2[/tex]

Ето ми въпроса: възможно ли е решението на тази задача? Ако да, как???

Такива задачи понякога може да се докарат да се решат с Lambert-W function, но тази няма да стане.

[ammornil]

$\quad$Задачата, както сте я написали, се решава точно по начина който сте описали, с полагане на логаритъма.$\\[12pt]$

Скрит текст: покажи

$$\dfrac{4}{\log_{4}{x}+4} + \dfrac{5}{\log_{4}{x}+5} = 2$$ $ \text{ДМ}:\quad x\in{(0;+\infty)}\\[6pt] \log_{4}{x}=t \Rightarrow x= 4^{t} \\[6pt] \dfrac{4}{t +4} + \dfrac{5}{t+5} = 2 \quad \Leftrightarrow \quad 4t +20 +5t +20= 2(t^{2} +9t +20) \quad \Leftrightarrow \quad 2t^{2} +9t= 0 \quad \Leftrightarrow \quad 2t\left(t+\dfrac{9}{2}\right)= 0 \\[6pt] \quad \Rightarrow t_{1}=0 \quad \cup \quad t_{2}=-\dfrac{9}{2} \\[6pt] x_{1}=4^{0} \in{\text{ДМ}} \quad \cup \quad x_{2}=4^{-\frac{9}{2}} \in{\text{ДМ}} $ $$ x_{1}=1 \quad \cup \quad x_{2}=\dfrac{1}{2^{9}} $$

$\\[12pt]\quad$Ако задачата е зададена като $\dfrac{4}{\log_{4}{(x + 4)}} + \dfrac{5}{\log_{4}{(x + 5)}} = 2$ тогава не виждам лесно или хитро решение.

[Гост]

Това е задача от един тест, който ми дадоха. Оригинално задачата е така: [tex]\frac{4}{\log_{4}x + 4} + \frac{5}{\log_{4}x + 5} = 2[/tex]

Горната задача е лесна, просто полагаме логаритъма и получаваме квадратно уравнение и след това намираме Х.

Обаче аз не видях, че логаритъма не съдържа "+ 4" и "+ 5" и получих следната задача, която решавах два часа и нищо не можах да направя:

[tex]\frac{4}{\log_{4}(x+4)} + \frac{5}{\log_{4}(x+5)} = 2[/tex]

Ето ми въпроса: възможно ли е решението на тази задача? Ако да, как???

Такива задачи понякога може да се докарат да се решат с Lambert-W function, но тази няма да стане.

Благодаря за отговора! Сега ще разгледам какво е Lambert-W function, че ми е много интересно

[Гост]

$\quad$Задачата, както сте я написали, се решава точно по начина който сте описали, с полагане на логаритъма.$\\[12pt]$

Скрит текст: покажи

$$\dfrac{4}{\log_{4}{x}+4} + \dfrac{5}{\log_{4}{x}+5} = 2$$ $ \text{ДМ}:\quad x\in{(0;+\infty)}\\[6pt] \log_{4}{x}=t \Rightarrow x= 4^{t} \\[6pt] \dfrac{4}{t +4} + \dfrac{5}{t+5} = 2 \quad \Leftrightarrow \quad 4t +20 +5t +20= 2(t^{2} +9t +20) \quad \Leftrightarrow \quad 2t^{2} +9t= 0 \quad \Leftrightarrow \quad 2t\left(t+\dfrac{9}{2}\right)= 0 \\[6pt] \quad \Rightarrow t_{1}=0 \quad \cup \quad t_{2}=-\dfrac{9}{2} \\[6pt] x_{1}=4^{0} \in{\text{ДМ}} \quad \cup \quad x_{2}=4^{-\frac{9}{2}} \in{\text{ДМ}} $ $$ x_{1}=1 \quad \cup \quad x_{2}=\dfrac{1}{2^{9}} $$

$\\[12pt]\quad$Ако задачата е зададена като $\dfrac{4}{\log_{4}{(x + 4)}} + \dfrac{5}{\log_{4}{(x + 5)}} = 2$ тогава не виждам лесно или хитро решение.

Благодаря и на Вас! Доста ми олекна като видях, че е същия отговор