логаритмично уравнение с параметър

[nadeva]

Задача от сборник по математика:
Да се реши в зависимост от стойностите на параметъра уравнението:
Log a (a+(a+x)^1/2)=2/log x a
Има и отговори но аз не ги получавам.

[prodanov]

[tex]\log_a (a+(a+x)^{\frac12}) = \frac2{\log_xa}[/tex]
[tex]D(x): x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)[/tex]
[tex]D(a): a \in (0, 1) \cup (1, +\infty)[/tex]

[tex]\log_a (a+(a+x)^{\frac12})\log_xa = 2[/tex]
[tex]\log_x (a+(a+x)^{\frac12}) = \log_x x^2 \vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{} :/\log_x[/tex]
[tex]\sqrt{a+x} = x^2 - a[/tex] [tex]\uparrow[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l} a + x = x^4 - 2ax^2 + a^2\\ a+x \ge 0 \forall <a,x> \in D \\ x^2 - a \ge 0 \end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l} a^2 - (1 + 2x^2)a - (x - x^4) = 0\\ (x - \sqrt a)(x + \sqrt a) \ge 0 \end{tabular}[/tex]
но [tex](x + \sqrt a) \ge 0 \forall <a,x> \in D[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l} a^2 - (1 + 2x^2)a - (x - x^4) = 0\\ x \ge \sqrt a \end{tabular}[/tex]

[tex]D = (1 + 2x^2) + 4(x - x^4) = (2x + 1)^2 \ge 0 \forall x[/tex]
[tex]a = \frac{1 + 2x^2 \pm |2x+1|}{2}[/tex] и от [tex]D(x):[/tex]
[tex]a = \frac{1 + 2x^2 \pm (2x+1)}{2}[/tex]

Случай 1 : [tex]a = \frac{1 + 2x^2 + (2x+1)}{2}[/tex]
[tex]2a = 1 + 2x^2 + 2x + 1[/tex] <=> [tex]x^2 + x + 1 - a = 0[/tex]
[tex]'D = 4a - 3[/tex]
Подслучай 1: [tex]a < \frac34: \vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{} D < 0[/tex]
Подслучай 2: [tex]a \ge \frac34: \vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{}\vspace{} D \ge 0[/tex]
[tex]x = \frac{-2 \pm \sqrt{4a-3}}2[/tex]

Проверяваме второто условие от системата:
1) Първи подслучай на първи случай: [tex]x = \frac{-2 + \sqrt{4a-3}}2[/tex]
[tex]\sqrt{4a-3} \ge 2\sqrt a +2[/tex]
не е изпълнено за никое [tex]a \in D(a)[/tex] => системата не е изпълнена.

2) Втори подслучай на първи случай: [tex]x = \frac{-2 - \sqrt{4a-3}}2[/tex]
[tex]\sqrt{4a-3} + 2\sqrt a \le -2[/tex]
не е изпълнено отново.


Първи случай е аут. Втори: [tex]a = \frac{1 + 2x^2 - (2x+1)}{2}[/tex]

[tex]x^2 - x - a = 0[/tex]

[tex]''D = 1 + 4a \ge 0 \forall a \in D(a)[/tex]
[tex]x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4a}}2[/tex]

1) Първи подслучай на втори случай: [tex]x = \frac{1 + \sqrt{1 + 4a}}2[/tex]
[tex]\sqrt{1 + 4a} \ge 2\sqrt a - 1[/tex]
Има решение при [tex]a \in (0, 1) \cup (1, +\infty)[/tex]

2) Втори подслучай на втори случай: [tex]x = \frac{1 - \sqrt{1 + 4a}}2[/tex]
[tex]\sqrt{1+4a} + 2\sqrt a \le 1[/tex]
Което няма решение.

=> при [tex]a \in (0, 1) \cup (1, +\infty): x = \frac{1 + \sqrt{1 + 4a}}2[/tex]

[nadeva]

Много благодаря за решението.Схванах логиката,но не разбирам защо според отговора на задачата, при 0<а<1 и а=3, х=(1+(4а+1)^(1/2))/2, а при1<а<3 и а>3, има две решения х=(1+(4а+1)^(1/2))/2 и х=(-1+(4а-3)^(1/2))/2.