log уравнение log_{x}(x-1).log_{x}2=1

[inveidar]

[tex]log_{x}(x-1).log_{x}2=1[/tex]

[allier]

1.6160897734307486-0.99027497612538.i
1.6160897734307486+0.99027497612538.i

[inveidar]

[tex]log_{x}(x-1).log_{x}2\le \frac{1}{4 }(log_{x}2(x-1))^{2}[/tex]. Неравенство между средноаритметично и средногеометрично. И двата логаритъма трябва да са положителни, защото единият е положителен и ако другият е по-малък или равен на нула, то няма как произведението им да е 1.
Ще докажем, че [tex]\frac{1}{4 }(log_{x}2(x-1))^{2}<1[/tex], т.е [tex]log_{x}2(x-1))<2[/tex], т.е
[tex]2(x-1)<x^{2}[/tex], което е елементарно. Следователно уравнението няма решение. Бъркам ли някъде?
Става въпрос за реални корени, естествено!

[allier]

Вярно е решението.