Решете неравенството

[inveidar]

[tex]log_{x^{2}-3}(x^{2}+6x)<log_{x}(x+2)[/tex]

[inveidar]

ДМ: [tex]\begin{array}{|l} {x^{2}-3>0} \\ {x^{2}-3\neq 1}\\ {x+2>0} \\ {x^{2}+6x>0} \end{array}[/tex][tex]\Leftrightarrow x \in \left ( \sqrt{3};2 \right )\cup\left ( 2;+ \infty \right )[/tex]

Първи случай: Нека [tex]x \in \left ( 2;+ \infty \right )[/tex]. Лесно се установява, че са изпълнени следните неравенства
[tex]x^{2}-3>1,x^{2}>1,x^{2}+6x>1[/tex].
Ще докажем, че (1) [tex]log_{x^{2}-3}(x^{2}+6x)>log_{x^{2}}(x^{2}+6x)}[/tex][tex]\Leftrightarrow \frac{1}{log_{x^{2}+6x}(x^{2}-3)}>\frac{1}{log_{x^{2}+6x}x^{2}}[/tex][tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow log_{x^{2}+6x}x^{2}>log_{x^{2}+6x}(x^{2}-3)[/tex][tex]\Leftrightarrow x^{2}>x^{2}-3[/tex], което очевидно е вярно.

Още по-лесно доказваме, че (2) [tex]log_{x^{2}}(x^{2}+6x)>log_{x^{2}}(x+2)^{2}[/tex][tex]\Leftrightarrow x^{2}+6x>x^{2}+4x+4 \Leftrightarrow x>2[/tex], което също е очевидно вярно в този случай.
От (1) и (2) лесно следва [tex]log_{x^{2}-3}(x^{2}+6x)>log_{x^{2}}(x+2)^{2}=log_{x}(x+2)[/tex], т.е изпълнено е обратното неравенство от условието на задачата. С други думи задачата няма решение в този случай.
Втори случай: Нека [tex]x \in \left ( \sqrt{3};2 \right )[/tex]. Отново лесно установяваме, че [tex]x^{2}-3<1,x^{2}>1,x^{2}+6x>1[/tex].
Аналогично на първи случай сега доказваме първо неравенството (1) [tex]log_{x^{2}-3}(x^{2}+6x)<log_{x^{2}}(x^{2}+6x)[/tex][tex]\Leftrightarrow \frac{1}{log_{x^{2}+6x}(x^{2}-3)}<\frac{1}{log_{x^{2}+6x}x^{2}}[/tex][tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow log_{x^{2}+6x}x^{2}>log_{x^{2}+6x}(x^{2}-3)[/tex][tex]\Leftrightarrow x^{2}>x^{2}-3[/tex](Обърнете внимание, че при умножаването на кръст в първия случай и двата множитела бяха положителни, а тук единият е положителен, но другият - отрицателен!)
От друга страна (2) [tex]log_{x^{2}}(x^{2}+6x)<log_{x^{2}}(x+2)^{2}[/tex][tex]\Leftrightarrow x^{2}+6x<x^{2}+4x+4 \Leftrightarrow x<2[/tex], което също е очевидно вярно в този случай.
Сега вече е ясно от (1) и (2), че в този случай неравенството от задачата е винаги изпълнено, т.е решенията на задачата са всички [tex]x \in \left ( \sqrt{3};2 \right )[/tex].

[oTuBaM_3a_1Bo_MecTo]

(bow)