Да се реши уравнението

[inveidar]

[tex](log_{x}(x-1)^{2})^{2}=log_{x}(2-x)+1[/tex]

[int]

От лявата страна на уравнението стои неотрицателно число, тогава от дясната също трябва да стои неотрицателно число, което дава 0<x<1. Очевидно за тези стойности лявата страна е определена. Уравнението може да се запише във вида

[tex]\log_x^2[1-(2x-x^2)]=\log_x(2x-x^2).[/tex]

Имаме, че [tex]\log_x[1-(2x-x^2)]>1[/tex], тъй като за всички 0<x<1 е изпълнено 1-(2x-x^2)<x. Тогава лявата страна на последното уравнение е по-голяма от 1. От друга страна [tex]\log_x(2x-x^2)<1,[/tex] тъй като 2x-x^2>x за всички 0<x<1. Следователно уравнението няма решение.

[strangerforever]

за всички 0<x<1 е изпълнено 1-(2x-x^2)<x.

Това не е вярно.

[tex]x^2 - 3x + 1 < 0[/tex]

[tex]x \in (\frac{3-\sqrt{5}}{2}; \frac{3+sqrt{5}}{2})[/tex]

Излишно е да казвам, че [tex]\frac{3-\sqrt{5}}{2} > 0[/tex]

Furthermore, задачата има решение.

[int]

Така е. Съгласих се. Да видим решението тогава.

[inveidar]

[tex](log_{x}(x-1)^{2})^{2}=log_{x}(1-x)+1[/tex]
Това трябва да е вярното условие! Явно в руския сборник е допусната грешка. Сравних с отговора и мисля, че така корекцията е вярна! Съжалявам за грешката.

[inveidar]

И това е грешно! Даден е корен [tex]\frac{\sqrt{5}+1 }{2 }[/tex].

[ptj]

Уравнението се свежда до:

[tex]1-(2x-x^2)=\sqrt{2x-x^2}[/tex] <=> [tex]2x-x^2=(\frac{-1+\sqrt{5} }{2 })^2[/tex]

Корени са: [tex]1\pm \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1 }{2 } }[/tex]

[strangerforever]

Уравнението се свежда до:

[tex]1-(2x-x^2)=\sqrt{2x-x^2}[/tex] <=> [tex]2x-x^2=(\frac{-1+\sqrt{5} }{2 })^2[/tex]

Корени са: [tex]1\pm \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1 }{2 } }[/tex]

[tex]\log_x^2[1-(2x-x^2)]=\log_x(2x-x^2) \Leftrightarrow 1-(2x-x^2)=\sqrt{2x-x^2}[/tex]

Шегуваш се, нали?

[ptj]

Да, формулите са други.

Иначе http://www.wolframalfa.com дава [tex]x\approx 0.332054[/tex]

[silvana82]

а това уравнение как ще се реши
log_{x+1} ((x^{2}+x-6)^{2})=4 или log ((x^2 + x+6))^2 =4, pri osnova (x+1)

намирам корен -7
има ли и други корени?

[ptj]

а това уравнение как ще се реши
log_{x+1} ((x^{2}+x-6)^{2})=4 или log ((x^2 + x+6))^2 =4, pri osnova (x+1)

намирам корен -7
има ли и други корени?

[tex]((x^2 + x+6))^2=(x+1)^4[/tex]
[tex]x^4+2x^3+13x^2+12+32=x^4+4x^3+6x^2+4x+1[/tex]

Реалния корен е [tex]x=5[/tex], а другите 2 са комплексни.

[ganka simeonova]

[tex]((x^2 + x+6))^2=(x+1)^4[/tex] Това у-е се разпада на две уравнения:

[tex](x+1)^2=x^2+x+6[/tex]

[tex](x+1)^2=-(x^2+x+6)[/tex]

[ptj]

[tex]((x^2 + x+6))^2=(x+1)^4[/tex]
[tex]x^4+2x^3+13x^2+12x+36=x^4+4x^3+6x^2+4x+1[/tex]
[tex]2x^3-7x^2-8x-35=0[/tex]
[tex](x-5)(2x^2+3x+7)=0[/tex]

Реалният корен е [tex]x=5[/tex], а другите 2 са комплексни.

П.П. Бързах на обед и съм допуснал техническа грешка в предишното си мнение.

[silvana82]

Благодаря ВИ, то и аз съм допуснала грешка .правилно е така

(x^2 + x -6)^2 = (x+1)^4

[grav]

@ptj: Подхода ти е 'лош'. Когато се решават уравнения е по-добре да се разлагат колкото може повече а не да се развиват.

[ptj]

Аз знаех предварително какво ще се получи (написаното от Ганка Симеонова), просто не съм го писал като отделни случаи. Т.е. че е уравнение от 3-та степен с един рационален корен.

[silvana82]

здравейте пак,
решавам го сега по вашият начин с разлагането на 2 уравнения.
от едното получавам корен -7,
а от другото- два корена , 1 и -5/2, като заместя за проверка в даденото уравнение се получава вярно равенство, но нали основата на логаритъма трябва да е по голяма от 0 по определение? корени ли са тогава -7 и -5/2?

[ptj]

Не са корени. Нали имаш дефиниционна област.

Когато минаваш от логаритъм към обикновено уравнение (чрез антилогаритмуване) получаваш уравнение следствие (ако не разглеждаш дефиниционната област), т.е. към уравнение с допълнителни корени.

Може да се убедиш, че единственият корен е [tex]x=1[/tex]:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=log%28x%2B1%2C%28x%5E2%2Bx-6%29%5E2%29%3D4

[silvana82]

Благодаря много )
а ако може още една задачка, публикувах я в друг раздел, но никой не ми отговаря
можете ли да я решите

1105 = x^2 + y^2

[strangerforever]

Благодаря много )
а ако може още една задачка, публикувах я в друг раздел, но никой не ми отговаря
можете ли да я решите

1105 = x^2 + y^2

В цели числа?

[silvana82]

да,
задачата е такава, да се представи числото 1105 като сума от квадрати,
намирам ги с калкулатора, но как да напиша отговорите, без самото решение
задачата е от теория на числата,

[ptj]

32 целочислени решения:

[tex]x=\pm 33 ,y=\pm 4[/tex]
[tex]x=\pm 32 , y= \pm 9[/tex]
[tex]x=\pm 31 , y=\pm 12[/tex]
[tex]x=\pm 24 , y=\pm 23[/tex]

За останалите смени на местата на [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex].
----------------
Разгледай остатъците на точните квадрати по модул 16. Като гледам едното се дели на 4 във всички решения.
[tex]1105\equiv 1\pmod{16}[/tex]

Най-вероятно [tex]x^2+y^2\equiv 1\pmod{16}[/tex] се изпълнява само при [tex]x\equiv 0 \pmod 4[/tex] и [tex]y^2\equiv 1 \pmod{16}[/tex] (или обратното).
-----------------------
Другия модул е 9, защото едното винаги се дели на 3.
[tex]1105\equiv 7 \pmod 9[/tex]

[tex]1^2\equiv 1 \pmod 9[/tex]
[tex]2^2\equiv 4 \pmod 9[/tex]
[tex]3^2\equiv 0 \pmod 9[/tex]
[tex]4^2\equiv 7 \pmod 9[/tex]
[tex]5^2\equiv 7 \pmod 9[/tex]
[tex]6^2\equiv 0 \pmod 9[/tex]
[tex]7^2\equiv 4 \pmod 9[/tex]
[tex]8^2\equiv 1 \pmod 9[/tex]
[tex]9^2\equiv 0 \pmod 9[/tex]

T.e. [tex]x\equiv 0 \pmod3[/tex] и [tex]y \equiv \pm 4 \pmod9[/tex] или обратното.
--------------------------

[silvana82]

a kak stigna do tiah?

[strangerforever]

Знаем, че произведението на 2 числа, които могат да се представят като сума на 2 точни квадрата, също може да се представи като сума на 2 квадрата, т.е.

[tex](a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (bc + ad)^2[/tex]

Забелязваме, че [tex]1105 = 5.13.17 = (65).(17) = (8^2 + 1^2).(4^2 + 1^2) = (32 - 1)^2 + (4+8)^2[/tex].

От тук решения са [tex]x = \pm 31, y = \pm 12[/tex] и [tex]x = \pm 12, y = \pm 31[/tex].

Като вземеш a = 1, b = 8 например, ще получиш други решения. Размествайки пак още и т.н. После ще комбинираш (5.17).13 и 5.(13.17), ще получиш още решения, някои ще се повтарят (даже доста).

Забележка: Това не е най-ефектнивният метод, особено ако имаш повече решения, но не вярвам да знаеш комплексни числа. Ако знаеш, извинявай за грешното (наивно) предположение.

[silvana82]

ще пробвам да опиша тези начини, няма да се задълбавам повече като пате в калчища ) благодаря