Логаритмично уравнение

[niki3105]

Дадена е функцията f (x) = logV(2-x) |x2 + 4a|, където а е реален параметър.
Да се реши f (x) = 4 при а =-3/4
При кои а f (x) =4 има точно 3 корена
За кой х от неравенството 0<a<b следва logV(2 -x)|x^2 + 4a|<logV(2-x) |x^2 + 4b|
V e корен.
Благодаря !

[martin123456]

[tex]f(x)=\log_{\sqrt{2-x}}|x^2+4a|[/tex] ?

[niki3105]

Да

[martin123456]

Дадена е функцията [tex]f(x)=\log_{\sqrt{2-x}}|x^2+4a|[/tex]|, където а е реален параметър.
a)Да се реши f (x) = 4 при а =-3/4

a) ДМ: [tex]x \ne 1[/tex]. [tex]|x^2-3|=(2-x)^2[/tex].
(1)[tex]x^2 \geq 3[/tex]. [tex]x^2-3=4-4x+x^2[/tex], [tex]4x=7[/tex], [tex]x=\frac{7}{4} > \sqrt{3}[/tex] и от ДМ=> решение
(2)[tex]x^2 < 3[/tex]. [tex]3-x^2=4-4x+x^2[/tex], [tex]2x^2-4x+1=0[/tex]. [tex]D=8[/tex], [tex]x_{1,2}=\frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4}=\frac{2 \pm \sqrt{2}}{2}[/tex]. лесно се проверява че и двете са решение

[martin123456]

б)

Дадена е функцията [tex]f(x)=\log_{\sqrt{2-x}}|x^2+4a|[/tex], където а е реален параметър.
При кои а f (x) =4 има точно 3 корена

б) уравнението е еквивалентно на [tex]|x^2+4a|=(2-x)^2[/tex]
(1)[tex]x^2 \geq -4a[/tex]. [tex]x=1-a[/tex]
(2)[tex]x^2 < -4a[/tex]. [tex]x^2-2x+2+a=0[/tex]
за да има цялото уравнение 3 решения трябва да е изпълнена системата от твърдения
(*)[tex](1-a)^2 \geq -4a[/tex] и [tex]1-a \ne 1[/tex] за да бъде първото решение
(**) уравнение [tex]x^2-2x+2+a=0[/tex] да има 2 реални различни корена и и двата да удовлетворяват [tex]x^2 < -4a[/tex] и те трябва да са различни от 1
за (**) да имат два реални различни корена лесно се намира параметъра. за да са различни от 1 пак е лесно. за втората част: използвай че ако [tex]x_0[/tex] е решение на [tex]x^2-2x+2+a=0[/tex], то [tex]x^2 < -4a[/tex] <=> [tex]2x-2-a < -4a[/tex]

[niki3105]

Аз съм я решил задачата.Може ли отговори да напишете на б и в?Благодаря

[martin123456]

в)

Дадена е функцията [tex]f(x)=\log_{\sqrt{2-x}}|x^2+4a|[/tex], където а е реален параметър.
За кой х от неравенството 0<a<b следва [tex]\log_{\sqrt{2-x}}|x^2+4a|<\log_{\sqrt{2-x}}|x^2 + 4b|[/tex]
!

за [tex]x \ne 1[/tex] неравенството в условието е еквивалентно на [tex]\log_{2-x}|\frac{x^2+4a}{x^2+4b}| < 0[/tex] <=> [tex]|\frac{x^2+4a}{x^2+4b}| < 1[/tex] <=> [tex]|1+\frac{4(a-b)}{x^2+4b}| < 1[/tex]. изразът в модула е по-малък от 1, понеже числителят на дробта е отрицателен, знаменателят е положителен.
задачата става 0<a<b, [tex]1+\frac{4(a-b)}{x^2+4b} > -1[/tex]. последното неравенство ( с общ знаменател) намираме че е еквивалентно на [tex]x^2 > -2a-2b[/tex]. дясната страна е винаги отрицателна, така че то е изпълнео. знaчи [tex]x \ne 1[/tex]

[niki3105]

То не е в модул а в скоби (х^2+4а) и (Х^2+4б) объркал съм се

[martin123456]

за б) получавам [tex]a < -1[/tex]

[niki3105]

Това е условието на в не се търси 3 решения така ,че не е в модул
За кой х от неравенството 0<a<b следва \log_{\sqrt{2-x}}(x^2+4a)<\log_{\sqrt{2-x}}|(x^2 + 4b)

[martin123456]

в)

За кой х от неравенството 0<a<b следва [tex]\log_{\sqrt{2-x}}(x^2+4a)<\log_{\sqrt{2-x}}(x^2 + 4b)[/tex]
!

за [tex]x\ne 1[/tex] [tex]x^2 > -4a[/tex] и [tex]x^2 >-4b[/tex] неравенството в условието е еквивалентно на [tex]\log_{\sqrt{2-x}}(\frac{x^2+4a}{x^2+4b}) < 0[/tex] <=> [tex]a<b[/tex].
последните 2 неравенства са верни, понеже десните им страни са отрицателни. значи [tex]x \ne 1[/tex]

[niki3105]

Не разбрах кои две неравенства са верни,защото са отрицателни.То второто е а<б а то е по условие .

[martin123456]

последните 2 неравенства са верни: [tex]x^2 > -4a[/tex] и [tex]x^2 >-4b[/tex]