Логаритмично неравенство с параметър ?

[vivian]

Здравейте! Тази задача много ме затруднява, понеже би трябвало да се направят няколко случая...Благодаря ви предварително за помощта!
За а принадлеващо на ? неравенството:

a.log2 ² (2x-x² - 1/2) + 4(a-1).log2 (2x-x² - 1/2) + a -1 >0

е изпълнено за всяко х, което принадлежи на ДМ.

[ammornil]

ДАДЕНО: [tex]a.log_{2}^{^{2}} (2.x-x^{2}-\frac{1}{2 })+4.(a-1).log_{2} (2.x-x^{2}-\frac{1}{2 })+a-1>0[/tex]

ТЪРСИМ: За кои стойности на "а" даденото неравенство е изпълнено за всяко "х" от ДМ?

РЕШЕНИЕ:
Най-напред да разгледаме ДМ на логаритъма.
[tex]2.x-x^{2}-\frac{1}{2 }>0 \Longrightarrow 2.x^{2}-4.x+1<0 \Longrightarrow x_{_{1,2}}=\frac{2\pm \sqrt{2^{2}-2.1}}{2 }=\frac{2\pm \sqrt{2}}{2 }[/tex]

ДМ: [tex]x \in (1-\frac{\sqrt{2}}{2 };1+\frac{\sqrt{2}}{2 })[/tex]

Полагаме израза [tex]log_{2} (2.x-x^{2}-\frac{1}{2 })=u \Longleftrightarrow 2^{u}=2.x-x^{2}-\frac{1}{2 }[/tex]
Разбира се [tex]u \in R[/tex]
Тогава условието на задачата придобива вида: [tex]a.u^{2 }+4.(a-1).u+a-1>0[/tex]
За да бъде изпълнено за всяко "u" (респективно за всяко "х", което това "u" би определило) трябва a>0 и D<0. Получаваме система неравенства:
[tex]\left|a>0 \\ (2.(a-1))^{2}-a.(a-1)<0\right[/tex][tex]\Rightarrow \left|a>0 \\ 4.(a-1)^{2}-a.(a-1)<0\right[/tex][tex]\Rightarrow \left|a>0 \\ (a-1)(4.(a-1)-a)<0\right[/tex][tex]\Rightarrow \left|a>0 \\ (a-1)(4.a-4-a)<0\right[/tex]

[tex]\Rightarrow \left|a>0 \\ (a-1)(3.a-4)<0\right[/tex][tex]\Rightarrow \left|a>0 \\ 3.(a-1)(a-\frac{4}{3 })<0\right[/tex]
Решението на тези неравенства е сечението на интервалите: [tex]a \in (0;+\infty) \cap a \in (1;\frac{4}{3 })[/tex], което на практика е вторият интервал.
Тогава можем да кажем, че за [tex]\forall a \in (1;\frac{4}{3 })[/tex] даденото в условието неравенство е изпълнено за всяко х от ДМ [tex]x \in (1-\frac{\sqrt{2}}{2 };1+\frac{\sqrt{2}}{2 })[/tex]