Коренът на уравнението cosx=2x-1

[Гост]

Докажете,че коренът на уравнението cosx=2x-1 ,където x е положително ненадминаващо 1, е в интервала (4/5;1)

[inveidar]

Може ли да ползваме калкулатор при пресмятането на [tex]cos50^{0}[/tex] ???

[Гост]

Не,искам без такива сметчици.А може ли да се докаже,че (sinx+24/5)(4/5-sinx)>0 за горния x (който е решение на уравнението от първия пост)?

[inveidar]

Ще започнем отзад напред. Първо ще докажем, че [tex]cos{50^{0}}>0,6[/tex], т.е [tex]2cos{50^{0}}>1,2[/tex]. За целта ще се убедим, че [tex]2cos{50^{0}}[/tex] е най-големия корен на уравнението [tex]t^{3}-3t+\sqrt{3}=0[/tex]. Последното се установява лесно като положим [tex]t=2x[/tex] и получим [tex]8x^{3}-6x+\sqrt{3}=0\Leftrightarrow 4x^{3}-3x+\frac{\sqrt{3} }{ 2}=0[/tex]. Сега отново полагаме [tex]x=cos \alpha[/tex], което ни води до [tex]4cos^{3}\alpha -3cos \alpha =-\frac{\sqrt{3} }{ 2}[/tex], т.е [tex]cos 3\alpha =-\frac{\sqrt{3} }{ 2}\Leftrightarrow3\alpha =\pm 150^{0}+k.360^{0}\Leftrightarrow\alpha =\pm 50^{0}+k.120^{0}[/tex], което ни дава три различни стойности за [tex]cos \alpha[/tex], а именно [tex]cos 50^{0},cos 170^{0},cos70^{0}[/tex] и съответно три стойности за [tex]y=2x[/tex] - [tex]2cos50^{0},2cos170^{0},2cos70^{0}[/tex]. Така се убеждаваме, че наистина най-големия корен на уравнението [tex]t^{3}-3t+\sqrt{3}=0[/tex] е [tex]t=2cos{50^{0}}[/tex]. Намирайки производната на функцията [tex]y=t^{3}-3t+\sqrt{3}[/tex], а именно [tex]y^{'}=3t^{2}-3=3(t^{2}-1)[/tex] и изследвайки интервалите на растене и намаляване, откриваме, че най-големият корен се намира надясно от 1. Остава да проверим дали [tex]f(1,2)<0[/tex]. [tex]f(1,2)=1,2^{3}-3.1,2+\sqrt{3}=1,728-3,6+\sqrt{3}<1,728-3,6+1,8<0[/tex].
До тук ясно ли е?

[Гост]

Ясно ми е,само не знам защо уравнението го разглеждаш с корени 2cos50 ,а не само cos50.Предполагам,че е заради избягване на технически грешки. Ще се радвам да видя останала част от решението.
Ако не е проблем можете ли да ми докажете и това,че cos4/5=4/5 е невярно.За това просто ми е интересно да видя доказателството.

[ganka simeonova]

Ясно ми е,само не знам защо уравнението го разглеждаш с корени 2cos50 ,а не само cos50.Предполагам,че е заради избягване на технически грешки. Ще се радвам да видя останала част от решението.
Ако не е проблем можете ли да ми докажете и това,че cos4/5=4/5 е невярно.За това просто ми е интересно да видя доказателството.

Да превърнем [tex]\frac{4}{5 } rad[/tex] в градуси.

[tex]\frac{4}{ 5} rad=\frac{4}{ 5} .\frac{180}{\pi } \approx 45,85^\circ >45^\circ=\frac{\pi }{ 4} =>cos { \frac{4}{ 5} }<cos{\frac{\pi }{4 }} =\frac{\sqrt{2} }{ 2} \approx 0,707<0,8[/tex]