Задачи с Универсално полагане

[a4kata_pz]

Здравейте!Имам за домашна доста тригонометрични уравнения и неравенства.Някои ги разбрах ,но тези с универсалното полагане нещо не ми излизат.Ще Ви помоля ,ако може да ми напишете подробно решение на повечето неравенства ,за да мога да ти разбера.
Благодаря Ви предварително!

[Anubis]

Ще ти покажа само един пример как се решава, защото другите са аналогични.

[tex]\sin x + \tan \frac{x}{2}=-2[/tex]

Трябва [tex]\cos \frac{x}{2} \neq 0, \quad x \neq \pi+2k\pi[/tex].

[tex]\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}+\sin^2 \frac{x}{2}} = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}[/tex]

Полагаш [tex]\tan \frac{x}{2}=u[/tex].

[tex]\frac{2u}{1+u^2}+u=-2 \Leftrightarrow u^3+2u^2+3u+2=0 \Leftrightarrow (u+1)(u^2+u+2)=0 \Leftrightarrow u=-1[/tex]

[tex]\tan \frac{x}{2}=\tan \left ( -\frac{\pi}{4} \right ) \Rightarrow \frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex]

[ammornil]

Ще ти покажа само един пример как се решава, защото другите са аналогични.

[tex]\sin x + \tan \frac{x}{2}=-2[/tex]

Трябва [tex]\cos \frac{x}{2} \neq 0, \quad x \neq \pi+2k\pi[/tex].

[tex]\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}+\sin^2 \frac{x}{2}} = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}[/tex]

Полагаш [tex]\tan \frac{x}{2}=u[/tex].

[tex]\frac{2u}{1+u^2}+u=-2 \Leftrightarrow u^3+2u^2+3u+2=0 \Leftrightarrow (u+1)(u^2+u+2)=0 \Leftrightarrow u=-1[/tex]

[tex]\tan \frac{x}{2}=\tan \left ( -\frac{\pi}{4} \right ) \Rightarrow \frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex]

[tex]\cyr{DM} \\
\exists tg\frac{x}{2} \Rightarrow \frac{x}{2} \ne \pm k\pi, _{k \in (N \cup \{0\})} \hspace{8} \Rightarrow x \ne \pm 2k\pi[/tex]

[Гост]

Амморнил, това, което си написал, не е вярно. Нима [tex]cos k\pi=0[/tex]?

[ammornil]

Амморнил, това, което си написал, не е вярно. Нима [tex]cos k\pi=0[/tex]?

da, blagodaria, spal sam!

[tex]\exists tg \frac{x}{2} \Rightarrow \frac{x}{2} \ne k\frac{\pi}{2} \Rightarrow x \ne k\pi[/tex]

[Гост]

Ами ако [tex]k=2[/tex]?

[Гост]

За да е изпълнено [tex]\cos \frac{x}{2} \neq 0[/tex] за някакво [tex]x_{0}[/tex], трябва [tex]\cos \frac{x_{0}}{2} \neq 0 \Rightarrow \frac{x_{0}}{2} \neq \frac{\pi}{2}[/tex]. Понеже [tex]\cos x = 0[/tex] през период [tex]\pi[/tex], получаваш [tex]\frac{x_{0}}{2} \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, \quad x_{0} \neq \pi + 2k\pi[/tex].