Едно тригонометрично неравенство в триъгълник

[someone]

Здравейте, от известно време се мъча да докажа следното тригонометрично неравенство в триъгълник:
[tex]sin\alpha+sin\beta+sin\gamma \le \frac{3sqrt3}{2}[/tex].
Моля за решение с материал до 10 клас. Намерих във форума много кратко доказателство, ползващо факта, че [tex]sinx[/tex] е вдлъбната функция в интервала [tex](0; \pi)[/tex], но този материал не го зная.
На аналогичното неравенство за косинусите ([tex]cos\alpha+cos\beta+cos\gamma \le \frac{3}{2}[/tex]) намерих кратко и елегантно доказателство от г-жа Симеонова. Пробвах по подобен начин и в този случай, но не се получи.

[ganka simeonova]

Първо да напишем неравенството на Йенсен за вдлъбната функция.
Нека [tex]f(x)[/tex] е ф-я, дефинирана в интервал [tex]\Delta[/tex]и за всеки две [tex]x_1; x_2\in \Delta ; \alpha_1; \alpha_2>0; \alpha_1+\alpha _2=1[/tex] е в сила
[tex]f(\alpha _1x_1+\alpha_2x_2)\ge \alpha _1f(x_1)+\alpha _2f(x_2)[/tex], казваме, че ф-та е вдлъбната. Тогава е в сила неравенството на Йенсен:
Ако [tex]x_1; x_2; ...; x_n\in \Delta ; \alpha _1; ...; \alpha _n\in (0; 1) ; \alpha _1+...\alpha _n=1=>[/tex]
[tex]f(\alpha _1x_1+...+\alpha_2x_n)\ge \alpha _1f(x_1)+...+\alpha _2f(x_n)[/tex].

Ако ф-та е изпъкнала е в сила обратното неравенство.
Обикновено за вдлъбнатост или изпъкналост се използва критерият с втората производна на една ф-я.

Сега по твоята задача:
1) Ще док., че [tex]f(x)=sinx; x\in (0; \pi )[/tex] e вдлъбната.
[tex]f'(x)=cosx; f"(x)=-sinx<0; x\in (0; \pi ).[/tex]
Сега вече ще приложим нер. на Йенсен, като аз ще избера числата [tex]\alpha _i=\frac{1}{3 }; i=1,2,3.[/tex]=>
[tex]\frac{1}{3 }sin\alpha +\frac{1}{3 }sin\beta +\frac{1}{3 }sin\gamma \le sin(\frac{1}{3 }\alpha +\frac{1}{3 }\beta +\frac{1}{3 }\gamma[/tex]
=>[tex]\frac{1}{3 }sin\alpha +\frac{1}{3 }sin\beta +\frac{1}{3 }sin\gamma \le sin {\frac{\pi }{3 }}=\frac{\sqrt{3} }{2 } =>sin\alpha +sin\beta +sin\gamma\le \frac{3\sqrt{3} }{2 }[/tex]
Равенство се достига, когато триъгълникът е равностранен.

[strangerforever]

Първо да напишем неравенството на Йенсен за вдлъбната функция.
Нека [tex]f(x)[/tex] е ф-я, дефинирана в интервал [tex]\Delta[/tex]и за всеки две [tex]x_1; x_2\in \Delta ; \alpha_1; \alpha_2>0; \alpha_1+\alpha _2=1[/tex] е в сила
[tex]f(\alpha _1x_1+\alpha_2x_2)\ge \alpha _1f(x_1)+\alpha _2f(x_2)[/tex], казваме, че ф-та е вдлъбната. Тогава е в сила неравенството на Йенсен:
Ако [tex]x_1; x_2; ...; x_n\in \Delta ; \alpha _1; ...; \alpha _n\in (0; 1) ; \alpha _1+...\alpha _n=1=>[/tex]
[tex]f(\alpha _1x_1+...+\alpha_2x_n)\ge \alpha _1f(x_1)+...+\alpha _2f(x_n)[/tex].

Ако ф-та е изпъкнала е в сила обратното неравенство.
Обикновено за вдлъбнатост или изпъкналост се използва критерият с втората производна на една ф-я.

Сега по твоята задача:
1) Ще док., че [tex]f(x)=sinx; x\in (0; \pi )[/tex] e вдлъбната.
[tex]f'(x)=cosx; f"(x)=-sinx<0; x\in (0; \pi ).[/tex]
Сега вече ще приложим нер. на Йенсен, като аз ще избера числата [tex]\alpha _i=\frac{1}{3 }; i=1,2,3.[/tex]=>
[tex]\frac{1}{3 }sin\alpha +\frac{1}{3 }sin\beta +\frac{1}{3 }sin\gamma \le sin(\frac{1}{3 }\alpha +\frac{1}{3 }\beta +\frac{1}{3 }\gamma[/tex]
=>[tex]\frac{1}{3 }sin\alpha +\frac{1}{3 }sin\beta +\frac{1}{3 }sin\gamma \le sin {\frac{\pi }{3 }}=\frac{\sqrt{3} }{2 } =>sin\alpha +sin\beta +sin\gamma\le \frac{3\sqrt{3} }{2 }[/tex]
Равенство се достига, когато триъгълникът е равностранен.

Е, помолиха да е с материал до 10. калс и без понятия като "вдлъбната функция"...

[ganka simeonova]

someone не е 10 клас:), но ок, ще помисля.

[strangerforever]

someone не е 10 клас:), но ок, ще помисля.

Е, все пак каза, че не знае какво е "вдлъбната функция".

[ganka simeonova]

someone не е 10 клас:), но ок, ще помисля.

Е, все пак каза, че не знае какво е "вдлъбната функция".

Изяснила съм го.

[ganka simeonova]

10клас
[tex]sin\alpha +sin\beta +sin\gamma =4cos{\frac{\alpha }{ 2} }.cos{\frac{\beta }{ 2} }.cos{\frac{\gamma }{ 2} }\le[/tex] (СА-СГ)

[tex]4.\frac{1}{27 } (cos{\frac{\alpha }{ 2} }+cos{\frac{\beta }{ 2} }+cos{\frac{\gamma }{ 2} })^3\le \frac{4}{27 } .(\frac{3\sqrt{3} }{2 } )^3=\frac{3\sqrt{3} }{ 2}[/tex]

Оценяването на сбора на косинусите от половинките ъгли е аналогично на оценяването на сбора на косинусите на целите ъгли, които симоне е разбрал.

[Гост]

А това за сбора от половинките на косинусите как се доказва?

[ganka simeonova]

Още един, но леко по-изкуствен начин.
[tex]sin\alpha +sin\beta +sin\gamma =2sin{\frac{\alpha+\beta }{2}}.cos{\frac{\alpha-\beta }{2 } +sin\gamma \le 2sin{\frac{\alpha+\beta }{2}} +sin\gamma=2cos{\frac{\gamma }{2} } +sin\gamma[/tex]

Ще докажем, че(1) [tex]2cos{\frac{\gamma }{2} } +sin\gamma\le \frac{3\sqrt{3} }{2 }[/tex].
Очевидно (1) се обръща в равенство при [tex]\gamma =60^\circ[/tex], затова полагаме [tex]\gamma =60^\circ +2x[/tex]и изразяваме (1) чрез[tex]sinx[/tex] и [tex]cosx[/tex].След елементарни преобразувания получаваме
[tex]2(1-cosx)[\sqrt{3} +sin(x+60^\circ )]\ge 0[/tex] Последното неравенство е очевидно; равенство се достига при
[tex]1-cosx=0=>\gamma =60^\circ[/tex]
Даденото неравенство се обръща в равенство при [tex]\alpha -\beta =0; \gamma =60^\circ =>\alpha =\beta =\gamma =60^\circ[/tex]

[someone]

Благодаря Ви много, госпожо Симеонова! За пореден път ме очаровате

[Гост]

Ще ти е за последен:) Пожелавам ти късмет, someone...