НМС и НГС

[mathinvalidnik]

[tex]sin^{2}x+sin^{2}y=\frac{3}{2 }[/tex].Да се намерят НМС и НГС на израза [tex]sin^{2}(x+y).cos(x-y)+sin^{2}(x-y).cos(x+y)[/tex]

[dim]

[tex]f(x,y)=sin^{2}(x+y).cos(x-y)+sin^{2}(x-y).cos(x+y)=[/tex]
[tex]=[1-cos^2{(x+y)}]cos{(x-y)}+[1-cos^2{(x-y)}]cos{(x+y)}=[/tex]
[tex]cos{(x+y)}+cos{(x-y)}-[cos^{2}(x+y).cos(x-y)+cos^{2}(x-y).cos(x+y)]=[/tex]
[tex]=cos{(x+y)}+cos{(x-y)}-cos(x+y)cos(x-y)[cos{(x+y)}+cos{(x-y)}]=[/tex]
[tex][cos{(x+y)}+cos{(x-y)}][1-cos(x+y)cos(x-y)]=[cos{(x+y)}+cos{(x-y)}][1-(cos^2{y}-sin^2{x})]=[/tex]
[tex]2cos{x}cos{y}[sin^2{x}+sin^2{y}]=3cos{x}cos{y}\le \frac{3}{2}(cos^2{x}+cos^2{y})=\frac{3}{4}[/tex]. Лесно може да се намери НМС, защото [tex]f(x,y)[/tex] всъщност е функция на една променлива - имаме зависимостта [tex]cos^2{x}+cos^2{y}=\frac{1}{2}[/tex] <=> [tex]sin^2{x}+sin^2{y}=\frac{3}{2}[/tex].

Всъщност по-лесно е за НМС е: [tex]cos^2{x}+cos^2{y}=\frac{1}{2}[/tex] <=> [tex]3cos{x}cos{y}=\frac{3}{2}[(cos{x}+cos{y})^2-\frac{1}{2}]\ge -\frac{3}{4}[/tex]

Окончателно имаме: [tex]\frac{3}{4}\ge f(x,y)\ge -\frac{3}{4}[/tex].

[mathinvalidnik]

Тук не можах да разбера как стана,по-точно как [tex]cos(x+y)cos(x-y)=cos^{2}y
-sin^{2}x[/tex]

[tex][cos{(x+y)}+cos{(x-y)}][1-cos(x+y)cos(x-y)]=[cos{(x+y)}+cos{(x-y)}][1-(cos^2{y}-sin^2{x})]=[/tex]
[tex]2cos{x}cos{y}[sin^2{x}+sin^2{y}]=\frac{4}{3}cos{x}cos{y}\le \frac{2}{3}(cos^2{x}+cos^2{y})=\frac{1}{3}[/tex]. Лесно може да се намери НМС, защото [tex]f(x,y)[/tex] всъщност е функция на една променлива - имаме зависимостта [tex]cos^2{x}+cos^2{y}=\frac{1}{2}[/tex] <=> [tex]sin^2{x}+cos^2{y}=\frac{3}{2}[/tex].

Всъщност по лесно е за НМС е: [tex]cos^2{x}+cos^2{y}=\frac{1}{2}[/tex] <=> [tex]\frac{4}{3}cos{x}cos{y}=\frac{2}{3}[(cos{x}+cos{y})^2-\frac{1}{2}]\ge -\frac{1}{3}[/tex]

Окончателно имаме: [tex]\frac{1}{3}\ge f(x,y)\ge -\frac{1}{3}[/tex].

П.п Видях,че отговорите са НМС [tex]\frac{-3}{4 }[/tex] , НГС [tex]\frac{3}{4 }[/tex]

[dim]

Това е така, защото както виждаш съм решавал задачата за [tex]sin^2{x}+sin^2{y}=\frac{2}{3}[/tex], а не както ти си го дал по условие, т.е. сметките са верни като изключим, че пак не съм чел условието Сега ще ги оправя и ще се получат отговорите

[dim]

Всъщност ти май не си чел решението ми, а само си видял, че не получавам отговорите. В противен случай щеше да видиш грешката. Надявам се, че след като ги получих да го прочетеш

[mathinvalidnik]

Всъщност ти май не си чел решението ми, а само си видял, че не получавам отговорите. В противен случай щеше да видиш грешката. Надявам се, че след като ги получих да го прочетеш

Не е така,четох ти решението и стигнах до мястото,до което те попитах как си го получил.Тогава спрях да чета нататък,защото не знамм как си получил предходното и затова попитах как е станало уви пак не разбрах

п.п видях,че грешно си замествал ,но мен ме интересуваше пътя докато стигнеш до там

[dim]

Да, мн ясно. Не се заяждам. Сигурно има и по-хитро решение.

[Consigliere-]

Ето зад. от Матура за отличен : Най-голямата стойност на произведението sinα.sinβ , където α и β са острите ъгли в правоъгълен ▲ е :

[strangerforever]

Ето зад. от Матура за отличен : Най-голямата стойност на произведението sinα.sinβ , където α и β са острите ъгли в правоъгълен ▲ е :

[tex]sin\alpha.sin\beta = sin\alpha.cos\alpha = \frac{sin(2\alpha)}{2}[/tex]

Знаем, че [tex]\alpha \in (0^\circ; 90^\circ) \Rightarrow 2\alpha \in (90^\circ; 180^\circ) \Rightarrow sin(2\alpha) \in (0;1) \Rightarrow \frac{sin(2\alpha)}{2} \in (0; \frac{1}{2})[/tex]

П.С.: [tex]\frac{1}{2}[/tex] не е верният отговор.

[Consigliere-]

Благодаря ! Да всъщност в отговорите са объркали и са написали 1/2 ...

[strangerforever]

Благодаря ! Да всъщност в отговорите са объркали и са написали 1/2 ...

Може да се сметне в какъв интервал е, но той не е краен. Задачата е нерешима в тази формулировка.

[mkmarinov]

е [tex]\alpha \in (0^\circ; 90^\circ) \Rightarrow 2\alpha \in (90^\circ; 180^\circ) \Rightarrow sin(2\alpha) \in (0;1) \Rightarrow \frac{sin(2\alpha)}{2} \in (0; \frac{1}{2})[/tex]

П.С.: [tex]\frac{1}{2}[/tex] не е верният отговор.

Напротив, верен отговор е. Интервалът е затворен откъм единицата. При [tex]\alpha = \frac{\pi}{4}[/tex]. И 2.0=0, а не 90 .

[Consigliere-]

Тоест при 2α трябва да е (0;180) така ли ? Щото примерно могат и 2та да са по 45° ,...не ако може обясни ми ...не мога да схвана ...

[strangerforever]

е [tex]\alpha \in (0^\circ; 90^\circ) \Rightarrow 2\alpha \in (90^\circ; 180^\circ) \Rightarrow sin(2\alpha) \in (0;1) \Rightarrow \frac{sin(2\alpha)}{2} \in (0; \frac{1}{2})[/tex]

П.С.: [tex]\frac{1}{2}[/tex] не е верният отговор.

Напротив, верен отговор е. Интервалът е затворен откъм единицата. При [tex]\alpha = \frac{\pi}{4}[/tex]. И 2.0=0, а не 90 .

Така е, грешката е моя.

[Consigliere-]

Отне ми малко време но го разбрах и аз

[Consigliere-]

Намерете НГС и НМС на функцията
[tex]f(x)=-x^{4}+10x^{2}-9[/tex] в [tex]x\in (-\infty ;+\infty )[/tex]
В случая искам да ми кажете правилно ли я решавам .
намирам си производната,намирам функцията в критичните точки и след това проверявам границата при [tex]\pm \infty[/tex] ,получавам ,че границата на функцията е [tex]-\infty[/tex] от тук следва ,че няма НМС ?

[strangerforever]

Намерете НГС и НМС на функцията
[tex]f(x)=-x^{4}+10x^{2}-9[/tex] в [tex]x\in (-\infty ;+\infty )[/tex]
В случая искам да ми кажете правилно ли я решавам .
намирам си производната,намирам функцията в критичните точки и след това проверявам границата при [tex]\pm \infty[/tex] ,получавам ,че границата на функцията е [tex]-\infty[/tex] от тук следва ,че няма НМС ?

Това е десетокласна задача. След полагане [tex]u = x^2 > 0[/tex], f(u) е квадратна функция, която достига минимума си при u = 5 и няма максимум.

[Consigliere-]

Еми аз съм глупав и задавам глупави въпроси пък и мислех ,че има макс но не и мин.
Главно исках да разбера това с границата но няма значение ..

[ptj]

Намерете НГС и НМС на функцията
[tex]f(x)=-x^{4}+10x^{2}-9[/tex] в [tex]x\in (-\infty ;+\infty )[/tex]
В случая искам да ми кажете правилно ли я решавам .
намирам си производната,намирам функцията в критичните точки и след това проверявам границата при [tex]\pm \infty[/tex] ,получавам ,че границата на функцията е [tex]-\infty[/tex] от тук следва ,че няма НМС ?

[tex]f'(x)=-4x^3+20x=4x(-x^2+5)[/tex]
[tex]f''(x)=-12x^2+20[/tex]
Функцията е непрекъсната, защото първата й производна е дефинирана навсякъде.
[tex]f'(x)[/tex] се нулира в точките [tex]0;-\sqrt{5};+\sqrt{5}[/tex].
[tex]f''(-\sqrt{5} )=-40;f''(0 )=20;f''(\sqrt{5} )=-40;[/tex]
T.e. в точките [tex]-\sqrt{5}[/tex] и [tex]\sqrt{5}[/tex] има локални максимуми, а в [tex]0[/tex] - локален минимум.

[tex]f(-\sqrt{5})=f(\sqrt{5})=16[/tex], което е глобален максимум.

[tex]\lim_{x \to -\infty}f(x)=\lim_{x \to \infty}f(x)=-\infty[/tex]

Графика:


П.П. А това , че минимума на функцията е [tex]-\infty[/tex], се вижда веднага от отрицателния коефициент пред най-високата степен на [tex]x[/tex].

П.ПП. А конкретно за написаното от теб относно критичните точки - необходимо е да провериш дали те съответстват на екстремуми или са инфлексни точки, т.е. дали в тях се нулират всички производни до [tex]k-[/tex]та вкл. При четно [tex]k[/tex] имаш инфлексни точки (преминаване от изпъкналост към вдлъбналост или обратното), при нечетно- точки на локални екстремуми.

[Consigliere-]

Ето тази задача ,само нещо като правя границата при x--->-∞ явно греша
[tex]y=3x + \sqrt{7-2x}[/tex]
Множеството на y = ?

[ptj]

Ето тази задача ,само нещо като правя границата при x--->-∞ явно греша
[tex]y=3x + \sqrt{7-2x}[/tex]
Множеството на y = ?

D: [tex]7-2x\ge 0[/tex] <=> [tex]x\in (-\infty;\frac{7}{ 2}][/tex]

[tex]y'=3-\frac{1}{\sqrt{7-2x} }[/tex]

[tex]y'=0[/tex] <=> [tex]7-2x =\frac{1}{9 }[/tex]<=>[tex]x=\frac{31}{9 }[/tex]

[tex]y"=-\frac{1}{\sqrt[3]{(7-2x)^2} }[/tex]

[tex]y"(\frac{31}{9 })<0[/tex] => [tex]y(\frac{31}{ 9} )=\frac{32}{3 }[/tex] е глобален максимум.

[tex]\lim_{x \to -\infty} 3x + \sqrt{7-2x}= \lim_{x \to -\infty} x \left(3 -\sqrt{\frac{7-2x}{x^2 }}\right) =\lim_{x \to -\infty} x (3 -0)=-\infty[/tex] (глобален минимум)

[tex]y[/tex] расте в [tex]x \in (-\infty; \frac{31}{9 })[/tex], а намаля в [tex](\frac{31}{9 };\frac{7}{2 } )[/tex].

[Consigliere-]

Как да разбирам отговора [tex](-\infty ;10\frac{2}{3 })[/tex] Мерси иначе

[ptj]

Начертай си графиката и ще видиш как (може и с софтуер).

П.П. Дясната част на интервала се достига.