Тригонометрично уравнение.

[savoy]

Не мога да реша следното тригонометрично уравнение, изглежда лесно но стигам до някъде и не знам натам какво.

[tex]sinx*cosx - cos^2x = 1[/tex]

[Добромир Глухаров]

[tex]sinx.cosx=\frac{1}{2}sin2x\le\frac{1}{2};\ -cos^2x\le0;\ \Rightarrow sinxcosx-cos^2x\le\frac{1}{2}<1[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] уравнението няма решение.

Разбира се, може да се реши и по традиционния начин:

[tex]sinx.cosx-cos^2x=sin^2x+cos^2x[/tex]
[tex]sin^2x-sinx.cosx+2cos^2x=0[/tex]
[tex]cosx=0\Rightarrow sinx=0\to[/tex] няма такова [tex]x[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] делим на [tex]cos^2x\ne 0[/tex]

[tex]tg^2x-tgx+2=0[/tex]
[tex]D=(-1)^2-4.1.2=1-8=-7<0\Rightarrow x\in\emptyset[/tex]

[inveidar]

Прехвърляш всичко вдясно и получаваш уравнението [tex]cos^2x-sinx.cosx+1=0[/tex]. Разглеждаме го като квадратно относно косинуса и получаваме дискриминанта [tex]D=sin^2x-4<0[/tex], т.е няма решение.

[reg]

Може ли да попитам как по-точно става това разглеждане на уравнението като квадратно относно косинуса? И как така правим дискриминанта на тригонометрично уравнение?

[inveidar]

Ми пишеш [tex]cosx=t[/tex] и така. Какво те притеснява? Ако си спомняш от 8-ми клас как се извеждат формулите за корените на квадратното уравнение, то така и тук като повториш същите процедури(което е излишно, естествено, но ти питаш) ще получиш необходимото.

[amsara]

Може ли да попитам как по-точно става това разглеждане на уравнението като квадратно относно косинуса? И как така правим дискриминанта на тригонометрично уравнение?

[tex]cos^2x-sinx.cosx+1=0[/tex]

Както ти е казал инвейдър - [tex]cosx=t[/tex]
[tex]cos^2x-sinx.cosx+1=0 <=> t^2-sinx.t +1=0[/tex]
Това е квадратно уравнение от вида [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], в което
[tex]a=1; b=-sinx; c=1[/tex]
[tex]=> D=b^2-4ac <=> (-sinx)^2-4.1.1=sin^2x-4[/tex]
[tex]sinx \in [-1; 1] => D<0 =>[/tex] няма решение

[reg]

Благодаря за отговорите, ама това което ме притеснява е, че не мога да разбера, как така правим полагане само в част от уравнението, а другото си остава както си е било, имам предвид, че ако сложим t=cos x, уравнението трябва да стане [tex]t^2\pm\sqrt{1-t^2}t+1=0[/tex] като знака зависи от това къде се мени x, а не това което казвате.

[amsara]

Е, дори и така написано, има ли решение?

Редакция: По инерция написах D.

Колкото до полагането, не разбирам какво те смущава. На -sinx гледай като на коефициент пред променливата t.

[reg]

Ама за какво D говориш, като уравнението след смяна на променливата се преобразува до ирационално уравнение

[reg]

Чакай, сега, как така синуса ще го гледам като коефициент, нали полагате t=cos x . Щом направите смяна на променливата, трябва да запишете уравнението по отношение на новата променлива.
Аз разбрах защо изходното уравнение няма решение, и грамотното решение е написано от Добромир. Това което вие предлагате е грешно.

[amsara]

Как ще е грешно? Ти явно не осмисляш идеята на инвейдър за променлива cosx. Гледаш само на cosx като на неизвестно от втора степен. И затова полагаш cosx=t. Защо пипаш и sinx?

PS И виж рейтинга под поста на Инвейдър. Защо ли точно Добромир Глухаров е дал гласа си ЗА?Дали не е , защото е вярно?

[reg]

Ама стига вече ръси глупост след глупост. Ако гледаме на косинуса като на нова промелнива, то уравнението се преобразува до ирационално, а не до квадратно. Айде вземете се стегнете и си научете урока за смяна на променливата в в даден израз. А това, че Добромир бил дал вот за грешното "решение" (което между другото не знам как разбра) е вероятно защото и той се е подвел по "магическия" метод който предлагате.

[amsara]

Разбрала съм това за рейтинга много просто, като съм погледнала няколко поста по-нагоре. Много е лесно.

А аз съм дотук. Щом Инвейдър и Добромир Глухаров така лесно се "подвеждат", а ти си правият, добре сме.
Опс, видях сега рейтинг 1 от админа и под моя пълен с глупости пост. Ама сигурно и той не е разбрал и се е подвел, споко .

[reg]

Ей, ама от инат вече. Вместо да се замисли малко, се опъва като магаре на мост. Какви са тия измислени методи, които предлагате, без всякаква математическа обосновка. Как ще сменяш променливата в уравнение и ще оставяш част от израза непроменен? Пълен абсурд.

[Гост1]

Вижда се, че имаме [tex]\cos(x)\sin(x)=1+cos^2(x)[/tex]. Дясната страна на израза е по-голяма или равна на 1, лявата по-малка или равна на 1, значи и на двете места трябва да имаме равенство. Тогава от дясната страна намираме [tex]cos(x)=0[/tex], откъдето лявата излиза равна на 0. Значи нямаме решение.
Това, което предлагат inveidar и amsara, е вярно. Всъщност те представят израза във вида [tex]\left(\cos(x)-\frac{\sin(x)}{2}\right)^2+1-\frac{\sin^2(x)}{4}=0[/tex], което е невъзможно.

[amsara]

Гост1, за да сме прецизни - аз не съм предлагала нищо и не мога да си придавам активи. Идеята за представянето на уравнението като квадратно спрямо косинуса си е единствено на Инвейдър. Аз само я разписах в отговор на питането на reg. На него обаче не му хареса написаното.

[reg]

Това

те представят израза във вида [tex]\left(\cos(x)-\frac{\sin(x)}{2}\right)^2+1-\frac{\sin^2(x)}{4}=0[/tex], което е невъзможно.

е нещо много различно от това

Ми пишеш [tex]cosx=t[/tex] и така.

и това

Ти явно не осмисляш идеята на инвейдър за променлива cosx. Гледаш само на cosx като на неизвестно от втора степен. И затова полагаш cosx=t.

Това, което предлагат inveidar и amsara, е вярно.

Тука си в грешка.

[reg]

Гост1, за да сме прецизни - аз не съм предлагала нищо и не мога да си придавам активи. Идеята за представянето на уравнението като квадратно спрямо косинуса си е единствено на Инвейдър. Аз само я разписах в отговор на питането на reg. На него обаче не му хареса написаното.

Не че не ми харесва. Напротив, благодаря за отзивчивостта. Обаче това представено в този вид просто не е вярно. Това което госта твърди е нещо съвсем различно от това, което вие твърдите, а именно, че правите смяна на променливата в уравнението.

[amsara]

Добре де, нали приемаш уравнението във вида, представен от Гост1? ОК, то е абсолютно същото, ако се замислиш. Ето:

Полагаме[tex]cosx=m, \frac{sinx}{ 2}=n[/tex]
=>[tex](m-n)^2+1-n^2=0 <=> m^2-2mn+n^2+1-n^2=0 <=> m^2-2mn+1=0[/tex]
Решаваме като квадратно спрямо m.
=>[tex]m^2 -2n.m + 1=0; a=1, b=-2n, c=1[/tex]
[tex]D=4n^2-4[/tex]
Връщаме се към полагането и [tex]D=4.\frac{sin^2x}{ 4}-4 =sin^2x-4[/tex]

[Гост1]

Нали така се решава квадратно уравнение - с отделяне на точен квадрат. Тяхната идея е да разгледаме косинусът като неизвестно, а синусът като параметър - все едно те нямат нищо общо. Защото наистина те в крайна сметка не използват никаква връзка между тях. Наистина може да не са се изразили най-строго Математически, но важна е идеята им, която написах горе.

[reg]

Айде да сложим край на този спор вече. Ясно ми е каква ви е идеята, още от самото начало, въпросът е, че тази идея е представена неправилно и по-лошото е, че не се взима бележка, ами се спори, и то с цел кривото да се изкара право.
Значи първо, не полагате cos x =t, защото това значи, че правите смяна на променливата в уравнението и тогава то се преобразува до ирационално уравнение. Правилно е да кажете така: За произволно x, разглеждаме квадратния тричлен [tex]f(t)=t^2-\sin x t +1[/tex]. Дискриминатата му е [tex]\sin^2 x-4[/tex] и очевидно е отрицателна. Това означава, че [tex]f[/tex] не се анулира за никое t. Следователно, в частност, f няма да се анулира и за t=cos x. Понеже f(cos x) ви дава лявата страна на изходното уравнение - правите извод, че то няма решение.

[inveidar]

Никъде не съм казал, че полагам [tex]cosx=t[/tex]. Казах ПИШЕШ [tex]cosx=t[/tex]. Формално. После отделяш точен квадрат, както при решаване на квадратно уравнение. [tex]t^2-sinx.t+1=0 \Leftrightarrow t^2-2.\frac{sinx}{ 2}.t+\frac{sin^2x}{ 4}+1- \frac{sin^2x}{ 4}=0 \Leftrightarrow (t-\frac{sinx}{ 2})^2-(\frac{sin^2x}{ 4}-1)=0[/tex] и т.н както при извеждане на формулите за корените на квадратното уравнение(И ТОВА ТИ ГО НАПИСАХ!). Всичко това ни води до дискриминантата. Това не е смяна на променливата, а просто означаване на израз с друга буква. Друг подобен метод при решаване на някои уравнения е разглеждането им като квадратно относно конкретно число, например 5, но тогава не изразяваме старата променлива, да речем x, чрез 5, нали? Ама ти очевидно си далеч от тези неща, или просто искаш да се правиш на велик.

[inveidar]

Значи първо, не полагате cos x =t, защото това значи, че правите смяна на променливата в уравнението и тогава то се преобразува до ирационално уравнение.

Не, не правим смяна на променливите. Ти, ако искаш прави. Просто означаваме израза [tex]cos x[/tex] с друга буква. Схващаш ли разликата? Тук не става въпрос за функции, производни, диференциални уравнения и т.н. След това формално повтаряме същата процедура, както при извеждане на формулите за корените и достигаме до израза за дискриминантата, което ни дава право да правим тази незаконна, според теб, хватка. Това е.

[monika_at]

reg, такъв похват се прави когато искаме да разложим на множители.

Ето ти една примерна задача. Нека [tex]x\in (0; 1)[/tex] Да се реши уравнението:
[tex]xsin^2x+(x+1)sinx+1=0[/tex]

[inveidar]

Абе я ходи там откъдето си дошъл, бе, плазмодий!!!
Иди да учиш баща си как се преподава математика, не мен!
Може би имаш някаква докторска титла? Може би си доцент или асистент в някой университет?!
И си мислиш, че вече си хванал бога за шлифера?!
Обясних ти като на малоумен, че следвайки реда на получаване на формулите за корените на квадратното уравнение, достигаш до това, че за да има решение уравнението, то изразът .... трябва да е неотрицателен. Това ни дава ФОРМАЛНОТО право да кажем, че можем да разглеждаме уравнението като квадратно относно косинуса.
Ако нямаш с какво да си играеш е много жалко, защото си момченце все пак!