Задача за доказване

[m.velichkov]

Докажете че α + β + γ = 90 ако sin α = 1/3, sin β=√11/33, sin γ = 3√11/11 и α, β, γ E (0;90)

[Vulev]

Тъй като и трите ъгъла са остри техните косинуси са положителни.
Определяме [tex]cos\alpha =\sqrt{1-sin^{2}\alpha} =\sqrt{1-\frac{1}{9 } }=\sqrt{\frac{8}{ 9} }=\frac{2\sqrt{2} }{3 }[/tex] и
[tex]cos\gamma =\sqrt{1-sin^{2}\gamma } =\sqrt{1-\frac{9.11}{ 11.11} } =\sqrt{1-\frac{9}{11 } }=\sqrt{\frac{2}{11 } } =\sqrt{\frac{2.11}{ 11.11} }=\frac{\sqrt{22} }{11 }[/tex].
Пресмятаме [tex]cos(\alpha +\gamma )=cos\alpha cos\gamma -sin\alpha sin\gamma =\frac{2\sqrt{2} }{3 }.\frac{\sqrt{22} }{11 }-\frac{1}{ 3}.\frac{3\sqrt{11} }{11 }=\frac{4\sqrt{11}-3\sqrt{11} }{ 33}=\frac{\sqrt{11} }{33 }[/tex]. Тъй като този косинус е положителен, α и γ са остри ъгли => α+γ е също остър ъгъл. Освен това [tex]\frac{\sqrt{11} }{33 }=sin\beta =cos(90^\circ-\beta )[/tex] и от β-остър => 90°-β също е остър. Така получаваме, че косинусите на два остри ъгъла са равни, т.е. [tex]cos(\alpha +\gamma )=\frac{\sqrt{11} }{33 }=cos(90^\circ-\beta )[/tex] и значи и самите ъгли са равни.
Следователно α+γ=90°-β=>α+β+γ=90°.