Параметрични тригонометрични уравнения

[abc]

Да се реши:
1) a.sinx + tgx + 1 =1/cosx
2) 5 + 2cos2x ≤ 3 |2sinx-1|

[Knowledge Greedy]

Да се реши:
[tex]asinx+tgx+1=\frac{1}{cosx }[/tex]
Да отбележим, че [tex]cosx \ne 0[/tex] [tex](\ast)[/tex]
Прехвърляме отляво [tex]\frac{1}{cosx },[/tex]
[tex]a{sinx}+tgx+1-\frac{1}{cosx }=0[/tex].
Освобождаваме се от знаменателя
[tex]asinxcos{x}+sinx+cosx-1=0[/tex]
и разлагаме на множители
[tex]sin{\frac{x}{2 }}\left ( cos{\frac{x}{2} }-sin{\frac{x}{2}} \right )\left [ a\left ( cos{\frac{x}{2}}+sin{\frac{x}{2} } \right )+1 \right ]=0[/tex]
Решенията на [tex]sin{\frac{x}{2 }}=0[/tex] са от дефиниционното множество при [tex]\forall a[/tex].
Вторият множител не може да е нула, поради [tex](\ast)[/tex].
Остава само третият множител [tex]a\left ( cos{\frac{x}{2}}+sin{\frac{x}{2} } \right )+1=0[/tex], от който след представяне във вида
[tex]sin {\left ( \frac {x}{ 2}+\frac{\pi }{4}\right )}=\frac{\sqrt{2} }{ 2a}[/tex] при [tex]\forall a\in \left (-\infty ,-\frac{\sqrt{2}}{2a } \right ]\cup\left [\frac{\sqrt{2}}{2 } ,+\infty \right )[/tex] намираме останалите решения.