Тригонометрично 5cos2x + 12sin2x - 12sinx - 18cosx + 17=0

[abc]

Да се реши уравнението:
5cos2x + 12sin2x - 12sinx - 18cosx + 17=0

[Knowledge Greedy]

[tex]5cos2x + 12sin2x - 12sinx - 18cosx + 17=0[/tex]
Решение.
Представяме всички събираеми като фунции на един аргумент
[tex]5(cos^2x-sin^2x)+24sinxcosx-12sinx-18cosx+17(sin^2x+cos^2x)=0[/tex]
Извършваме приведение.
[tex]22cosx^2+24sinxcosx+12sin^2x-12sinx-18cosx=0[/tex]
Накрая съкращаваме на [tex]2[/tex]
[tex]11cosx^2+12sinxcosx+6sin^2x-6sinx-9cosx=0[/tex]
Полагаме
[tex]sinx=\frac{2t}{1+t^2 }[/tex] и [tex]cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2 }[/tex], където [tex]t=tg{\frac{x}{2}}[/tex]
(Универсалната субституция)

[tex]11 \left (\frac{1-t^2}{1+t^2} \right )^2+12 \frac{2t}{1+t^2 }.\frac{1-t^2}{1+t^2}+6 \left (\frac{2t}{1+t^2 } \right )^2-6\frac{2t}{1+t^2 }-9\frac{1-t^2}{1+t^2 }=0[/tex]
Освобождавеме се от знаменателите
[tex]11(1-t^2)^2+24t(1-t^2)+6(2t)^2-12t(1+t^2)-9(1-t^2)(1+t^2)=0[/tex]
И от скобите
[tex]11(1-2t^2+t^4)+24(t-t^3)+24t^2-12(t+t^3)-9(1-t^4)=0[/tex],
и още
[tex]11-22t^2+11t^4+24t-24t^3+24t^2-12t-12t^3-9+t^4=0[/tex]
в нормален вид ( и след съкращаване на 2)
[tex]10t^4-18t^3+t^2+6t+1=0[/tex].

Със схемата на Хорнер бързо стигаме до разлагането
[tex]5(t-1) \left (t+\frac{1}{5} \right ) (2t^2-2t-1)=0[/tex],
с корени на неразложения квадратен множител
t_{3,4}=1\pm \sqrt{3}

Оттук
[tex]\left\{\begin{matrix}
tg\frac{x}{2}=1\\
tg\frac{x}{2}=-\frac{1}{5} \\
tg\frac{x}{2}=1+ \sqrt{3}\\
tg\frac{x}{2}=1- \sqrt{3}
\end{matrix}\right.[/tex]
позволяват непосредствено определяне всички стойности на неизвестните [tex]x[/tex].