В триъгълник АВС ъглополовящата ВL и медианата АМ са перпенд

[abc]

В триъгълник АВС ъглополовящата ВL и медианата АМ са перпендикулярни и имат дължина 10. Да се намерят дължините на страните на триъгълник АВС.

[Knowledge Greedy]

Задачата е чудесен преговор на всевъзможни метрични зависимости в триъгълник.

Равни медиана и ъглополовяща перпендикулярни.png (4.3 KiB) Прегледано 1756 пъти

Първо забелязваме, че [tex]a=2c[/tex]. От равнобедрения [tex]\Delta AMB[/tex] също така още получаваме [tex]sin{\frac{\beta }{2}}=\frac{5}{c}[/tex].
По косинусова теорема намираме още една зависимост [tex]cos\beta = \frac{5c^{2}-b^{2}}{4c^{2}}[/tex]. По формулата за ъглополовящата [tex]BL=\frac{2ac}{a+c}cos{\frac{\beta }{2}}=10[/tex] и с формулата за медианата [tex]AM^{2}=\frac{1}{4}(2c^{2}+2b^{2}-a^{2})=10^{2}[/tex] завършваме една не трудна система.
Аз получих [tex]a=10\sqrt{33}, b=5\sqrt{41}, c=5\sqrt{33}.[/tex]
Надявам се , като провериш да се окажат тези отговори.
(Означенията са стандартните [tex]BC=a, CA=b, AB=c, \angle ABC=\beta[/tex].)

[math10.com]

trABC.png (25.75 KiB) Прегледано 1741 пъти

Това е типичен пример на задача, която при решаване по стандартния начин ще затънем в сериозни сметки водещи до грешки.Ето едно елегантно решение без тригонометрия.Сигурен съм,че е решавана и преди във форума ,но с други стойности.

Нека [tex]AM\cap BL=O[/tex].Разглеждаме [tex]\triangle ABM.[/tex]
[tex]BO[/tex]е едновременно ъглополовяща и височина.Следователно [tex]\triangle ABM[/tex] е равнобедрен и точка [tex]O[/tex] е среда на [tex]AM \Right AO=MO=\frac{1}{2}AM=5[/tex].
[tex]\Right AB=BM=MC (M-[/tex] е среда на [tex]BC)[/tex].
Построяваме [tex]MN||BL \Right MN[/tex] е средна отсечка в [tex]\triangle BLC \Right MN=\frac{1}{2}BL=5[/tex]
[tex]\Right OL[/tex] е средна отсечка в [tex]\triangle AMN \Right OL=\frac{1}{2}MN=\frac{5}{2} \Right BO=\frac{15}{2}[/tex]
[tex]\Right AL=LN=NC=\frac{1}{3}AC[/tex]
Сега прилагаме Питагорова теорема последователно за [tex]\triangle ALO ,\triangle ABO[/tex]
[tex]AL=\sqrt{AO^2+OL^2}=\sqrt{25+\frac{25}{4}}=\frac{5\sqrt{5}}{2} \Right AC=3AL=\frac{15\sqrt{5}}{2}[/tex]
[tex]AB=\sqrt{AO^2+OB^2}=\sqrt{25+\frac{225}{4}}=\frac{5\sqrt{13}}{2} \Right BC=2AB=5\sqrt{13}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Решението е наистина елегантно и аз завиждам на Магьосниците, които имат въображението да допълнят нещо, да побутнат и да се получи по-кратко, чисто геометрично и по-красиво.
Но точно в този случай си защитавам тъпата система, която още на втория ред ми дава втора линейна зависимост между страните на триъгълника. Е, ако си я бях сметнал вярно