Равнобедрен триъгълник

[abc]

Около равнобедрен триъгълник АВС е описана окръжност. През точка А е постоена хорда с дължина m, пресичаща основата ВС в т.D Дадено е отношението BD/DC=k; ъгъл BAC=α (α<∏/2). Да се намери дължината на радиуса на окръжността.

[kmitov]

Явно имаш добър сборник от задачи по планиметрия.

[kmitov]

Аз получих [tex]R=\frac{m}{2(k+1)\sin \alpha}\sqrt{k^2+1-2k \cos 2\alpha}[/tex]

[abc]

Как?

[kmitov]

Сгрешил съм Бях означил с [tex]\alpha[/tex] ъгълите при основата [tex]BC[/tex], а не както е в условието при върха [tex]A[/tex]. Трябва да се смени, но това не е трудно.

Ами решението върви така. Нека ъглите при основата са [tex]\alpha.[/tex] Понеже AD е ъглополовяща на ъгъла BDC и при това ъгъл BDA = ъгъл CDA=[tex]\alpha[/tex] като вписани ъгли, и от свойство на ъглополовящата BD:DC=k:1, т.е.
BD=kx, CD=x, Може да се приложи косинусова теорема за триъгълниците ABD и ACD като се изрази бедрото и в двата случая. От тази система се намира y. После от триъгълника BDC се намира BC и накрая се прилага синусова теорема за BC.
Това е горе долу. Нямам средство за чертане.

[monika_at]

Сгрешил съм Бях означил с [tex]\alpha[/tex] ъгълите при основата [tex]BC[/tex], а не както е в условието при върха [tex]A[/tex]. Трябва да се смени, но това не е трудно.

Ами решението върви така. Нека ъглите при основата са [tex]\alpha.[/tex] Понеже AD е ъглополовяща на ъгъла BDC и при това ъгъл BDA = ъгъл CDA=[tex]\alpha[/tex] като вписани ъгли, и от свойство на ъглополовящата BD:DC=k:1, т.е.
BD=kx, CD=x, Може да се приложи косинусова теорема за триъгълниците ABD и ACD като се изрази бедрото и в двата случая. От тази система се намира y. После от триъгълника BDC се намира BC и накрая се прилага синусова теорема за BC.
Това е горе долу. Нямам средство за чертане.

Не съм съгласна. Първо си оплескал букви и второ AD въобще не е ъглополовяща.Не е казано в условието.
В тази задача е удобно да се въведе помощен ъгъл. След малко ще пусна решение с чертеж.

[monika_at]

a.png (28.06 KiB) Прегледано 676 пъти

Прилагаме син. т-ма за [tex]\Delta BDC=>\frac{sin(\alpha -\varphi) }{sin\varphi } =k=>sin\alpha cotg\varphi -cos\alpha =k=>[/tex]
[tex]cotg\varphi =\frac{k+cos\alpha }{sin\alpha } =>cos\varphi =\frac{k+cos\alpha }{\sqrt{k^2+2kcos\alpha+1 } } ; sin\varphi =\frac{sin\alpha }{ \sqrt{k^2+2kcos\alpha+1 } }[/tex]

[tex]sin\angle ABD=sin[90^\circ -(\frac{\alpha }{2 } -\varphi )]=cos(\frac{\alpha }{2 } -\varphi )=cos{\frac{\alpha }{ 2}}cos\varphi +sin{\frac{\alpha }{ 2}}sin\varphi[/tex]. Заместваме с получените изрази за [tex]sin\varphi , cos\varphi[/tex] и след опростяване получаваме:[tex]sin\angle ABD=\frac{(k+1)cos{\frac{\alpha }{2} } }{ \sqrt{k^2+2kcos\alpha+1 }}[/tex]

Остава да приложим син.т-ма за [tex]\Delta ABD[/tex]

[inveidar]

Точката D лежи на основата, а не на дъгата. Случайно, обаче, се получава същото за к, защото АВС е равнобедрен.

[monika_at]

Точката D лежи на основата, а не на дъгата.

Мили боже, трябват ми очила. Нищо, другата задача също е хубава:) Решението не се променя съществено, защото тогава ако направим син т-ми за ABD и ADC ще получим същото (при същите означения на ъглите)

[inveidar]

Виж по-горе какво поправих. Получава се с две синусови теореми за BDA и CDA.

[monika_at]

Точно така.

[kmitov]

triyg.png (7.83 KiB) Прегледано 664 пъти

Наистина съм объркал мястото на точката [tex]D[/tex]. Сега ще се поправя.
Нямам добро средство за чертане. С paint това можах да направя и затова съм сложил [tex]a[/tex] за [tex]\alpha[/tex] и [tex]b[/tex] за [tex]\beta[/tex] на чертежа. (Дано да е ясно.)

[tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен с [tex]AB=AC[/tex].

По-нататък [tex]\alpha=\pi-2\beta[/tex], така, че дали е дадено [tex]\alpha[/tex] или [tex]\beta[/tex] e едно и също.

Хордата [tex]AP=m[/tex].

Понеже [tex]AB=AC[/tex], то дъгата [tex]AB[/tex] = дъгата [tex]AC[/tex] = [tex]2\beta[/tex]

Тогава ъгъл [tex]BPA[/tex] = ъгъл [tex]CPA[/tex]=[tex]\beta[/tex] и така, наистина [tex]PA[/tex] е ъглополовяща на ъгъла [tex]BPC[/tex]. Щом е така, то [tex]PB:PC=BD:DC=k:1[/tex]. По нататък сметката е следната
[tex]AB^2=(kx)^2+m^2-2kxm\cos \beta[/tex]
[tex]AC^2=(x)^2+m^2-2xm\cos \beta[/tex]
по косинусова теорема за триъгълниците [tex]APB[/tex] и [tex]APC[/tex]
Като извадим от първото уравнение второто и вземем в предвид, че [tex]AB=AC[/tex]
получаваме
[tex]0=(k^2-1)x^2-(k-1)2xm\cos \beta[/tex]
Понеже [tex]k-1 \ne 0[/tex] ( на чертежа е <0), и [tex]x \ne 0[/tex], получаваме
[tex](k+1)x=2m\cos \beta[/tex]
което дава
[tex]x=\frac{2m\cos \beta}{k+1}[/tex]

От тук [tex]BC^2=(kx)^2+x^2-2kx^2\cos 2\beta[/tex]
или
[tex]BC=x\sqrt{k^2+1-2k\cos 2\beta}[/tex]
по косинусова теорема за триъгълника BPC.

Накрая [tex]2R=\frac{BC}{\sin(\pi-2\beta)}[/tex]
и сметката излиза.

Надявам се, че сега не съм оплескал буквите и че е ясно кое на кое е ъглополовяща, даже и да не е дадено в условието. И това, че BP:PC=BD:DC е тъкмо по тази причина, а не е случайно.

[kmitov]

Разбра ли най-накрая решението на умната си задача?

[kmitov]

Сигурно има не 2 а 20 случая. Ми защо не си ги сметнеш?

[kmitov]

Питай monik............... може да ти каже, кой знае?

[abc]

Защо к-1 е различно от 0?

[monika_at]

Защо к-1 е различно от 0?

И той не знае. Написал е "Гледай чертежа".

[kmitov]

[tex]k-1 \ne 0[/tex] защото [tex]k \ne 1[/tex] защото, ако [tex]k=1[/tex] то [tex]AP[/tex] ще е диаметър и [tex]R[/tex]
ще е [tex]m/2[/tex].

А в решението пише, че на чертежа е нарисуван случая, когато [tex]k-1<0[/tex] демек [tex]k<1[/tex].

Значи, знам.

[kmitov]

Няма ли за какво да ме псувате вече?