докажете тъждествата

[pi4a_ot_mahalata]

Моля някой да ми помогне с четирите подусловия на първа задача. Днес се мъчех цял ден да ги реша, но уви, не можах. Благодаря предварително!

[Knowledge Greedy]

Задача 1. За ъглите [tex]\alpha, \beta, \gamma[/tex] на всеки триъгълник, е изпълнено равенството [tex]cos \alpha+cos\beta + cos\gamma -1=4sin{\frac{\alpha }{ 2}} sin{\frac{\beta }{ 2}} sin{\frac{\gamma }{ 2}}[/tex]
Доказателство:
[tex](cos \alpha+cos\beta)-(1- cos\gamma)= 2cos{\frac{\alpha + \beta }{2}}cos{\frac{\alpha - \beta }{2}}-2sin^{2} \frac {\gamma }{2 }=[/tex]
[tex]=2cos{\frac{90^\circ - \gamma }{2}}cos{\frac{\alpha - \beta }{2}}-2sin^{2} \frac {\gamma }{2 }=[/tex]
[tex]=2sin {\frac {\gamma }{2 }}cos{\frac{\alpha - \beta }{2}}-2sin^{2} \frac {\gamma }{2 }=[/tex]
[tex]=2sin {\frac {\gamma }{2 }}\left ( cos{\frac{\alpha - \beta }{2}}-sin {\frac {\gamma }{2 }} \right )=[/tex]
[tex]=2sin {\frac {\gamma }{2 }} \: \left ( {{cos{\frac{\frac{}{ } \alpha - \beta }{2}}-cos {(90^\circ - \frac{\gamma }{2})}\right )=[/tex]

[tex]=2sin {\frac {\gamma }{2 }} \: \left ( {-2sin{\frac{\frac{\alpha - \beta}{2} +(90^\circ - \frac{\gamma }{2})}{2 } }sin{\frac{\frac{\alpha - \beta}{2} -(90^\circ - \frac{\gamma }{2})}{2 }} \right )=[/tex]

[tex]=2sin {\frac {\gamma }{2 }} \: \left ( {-2sin{\frac{\frac{\alpha - (180-\alpha )}{2} +90^\circ }{2 }} }sin{\frac{\frac{(180-\beta )-\beta }{2} -90^\circ }{2 } } \right )=[/tex]

[tex]=-4sin {\frac {\gamma }{2 }} sin{\frac{\alpha - \cancel {90^\circ} +\cancel {90^\circ} }{2} sin{ \frac{\cancel {90^\circ} -\beta - \cancel {90^\circ} }{2} =[/tex]

[tex]=-4sin{\frac{\alpha}{2}}\: sin {\left ( \frac{-\beta }{ 2} \right )} sin{\frac {\gamma }{ 2}}=[/tex]
[tex]=4sin{\frac{\alpha }{ 2}} sin{\frac{\beta }{ 2}} sin{\frac{\gamma }{ 2}}[/tex]
----------------------------------------------
Използвани основни факти, освен подробно описаните на място формули:
[tex]\alpha + \beta + \gamma =180^\circ[/tex]
[tex]\beta + \gamma =180^\circ -\alpha[/tex]
[tex]sin{x}=cos(90^\circ -x)[/tex]
[tex]sin(-x)=-sin{x}[/tex].