Тригонометрични функции

[Honda]

Здравейте затруднявам се с едни задачи по тригонометрия ако някой може да ми помогне. Ще съм много благодарен!!!!

[Knowledge Greedy]

Старая се да отговарям веднага, щом мога.
Но приоритет са ми задачите, които не са снимани. Хората, които снимат, са много бързи и
могат да обърнат и времето.
- Ето защо за тях винаги закъснявам.
Хората, които снимат, улавят нещата в тяхната цялост.
- Ето защо на тях никога не обяснявам подробностите. За тях е достатъчен алгоритъма.
Така дори могат да се самооценят безпроблемно като (не)изкарат отговора.
Дано някой да го прочете

[tex]I[/tex]група

Зад. 1а)
Знаем, че [tex]tg45^\circ =1[/tex]
Знаем, че [tex]tg30^\circ =\frac{\sqrt{3} }{3 }[/tex]
Знаем формулата [tex]tg(\alpha -\beta )=\frac{tg \alpha-tg \beta }{1+ tg \alpha tg\beta }[/tex]
Прилагаме формулата за
[tex]\alpha = 45^\circ[/tex] и [tex]\beta = 30^\circ[/tex]

Зад. 1б)
Знаем, че [tex]cos63^\circ =sin27^\circ[/tex]
Знаем формулата [tex]cos\alpha cos \beta + sin \alpha sin\beta=cos(\alpha -\beta )[/tex]
Заместваме в тази формула [tex]\alpha =37^\circ[/tex] и [tex]\beta =27^\circ[/tex]
Получаваме по-кратък запис на числителя - само с косинус на един ъгъл [tex]\ast[/tex]

Знаем, че [tex]cos27^\circ=sin63^\circ[/tex]
Знаем формулата [tex]cos\alpha cos \beta - sin \alpha sin\beta=cos(\alpha +\beta )[/tex]
Заместваме в тази формула [tex]\alpha =37^\circ[/tex] и [tex]\beta =27^\circ[/tex]
Получаваме по-кратък запис на знаменателя - само с косинус на един известен ъгъл.

Делим числителя на знаменателя - получава се число, в което има като множител [tex](\ast)[/tex]

Зад. 2. Знаем, че [tex]cotg \alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }[/tex]
Значи в условието е дадено [tex]cos\alpha = -3sin\alpha[/tex].
Знаем, че за всеки ъгъл [tex]\alpha[/tex] е изпълнено [tex]sin^2\alpha + cos^2\alpha =1[/tex]
Заместваме в тази формула написания по-горе косинус с неговото равно ([tex]-3sin\alpha[/tex]). Намираме [tex]sin\alpha[/tex].
Връщаме се три реда нагоре и намираме [tex]cos\alpha[/tex]. Очаквано е той да е отрицателно число, защото знаем, че в интервала [tex]\left ( \frac{\pi }{ 2}; \pi \right )[/tex] той (косинусът) е отрицателен.
Остава с намерените синус и косинус да заместим във формулата [tex]sin2\alpha =2sin \alpha cos \alpha[/tex],
която също добре знаем.

Зад. 3.
Знаем, че за всеки ъгъл [tex]\alpha[/tex] е изпълнено [tex]sin^2\left ( \frac{\alpha}{2 } \right ) + cos^2\left ( \frac{\alpha }{ 2} \right ) =1[/tex]
Заместваме в тази формула с даденото в условието число за косинуса [tex]cos {\frac {\alpha }{ 2}}[/tex].
Намираме от нея [tex]sin {\frac {\alpha }{ 2}}[/tex]. Отчитаме, че неговият знак е [tex]+[/tex], защото в интервала за [tex]\frac {\alpha }{ 2 } \in \left ( 90^\circ ;180^\circ \right )[/tex] той е такъв.
Знаем формулата [tex]sin\alpha =2sin {\frac {\alpha }{ 2}}cos {\frac {\alpha }{ 2}}[/tex].
Заместваме в тази формула с намерените по-горе [tex]sin {\frac {\alpha }{ 2}}[/tex] и [tex]cos {\frac {\alpha }{ 2} }[/tex].
Намерихме [tex]sin \alpha[/tex].
Знаем формулата [tex]cos\alpha =cos^2{ \left ( \frac{\alpha }{ 2} \right )} -sin^2{\left ( \frac {\alpha}{2 } \right )}[/tex].
Заместваме в тази формула с намерените по-горе [tex]sin {\frac {\alpha }{ 2}}[/tex] и [tex]cos {\frac {\alpha }{ 2} }[/tex].
Намерихме [tex]cos \alpha[/tex].
Знаем, че [tex]cotg \alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }[/tex]
Заместваме в тази формула с намерените по-горе [tex]cos \alpha[/tex] и [tex]sin \alpha[/tex].
Намерихме [tex]cotg \alpha[/tex].
Знаем, че [tex]tg \alpha=\frac{1}{cotg \alpha }[/tex] .
Заместваме в тази формула намерения [tex]cotg \alpha[/tex] и определяме [tex]tg \alpha[/tex].

Зад. 4.
Достатъчно е да преработим едната страна докато получим другата.
Да вземем лявата.
Знаем, че [tex]tg \alpha =\frac{sin\alpha }{ cos\alpha }[/tex].
Знаем, че [tex]tg \beta =\frac{sin\beta }{ cos\beta }[/tex].
Като приведем двете дроби към общ знаменател, виждаме, че той съвпада със знаменателя на дясната страна. Това е добър знак
В числителите като разширим със съответните множители ( [tex]cos \beta[/tex] и [tex]cos \alpha[/tex]) получаваме
[tex]sin\alpha cos \beta[/tex] на първата и [tex]cos\alpha sin \beta[/tex] за числителите на двете дроби.
Остава да си припомним, че знаем и формулата [tex]sin\alpha cos \beta-cos\alpha sin \beta=sin(\alpha -\beta)[/tex], за да завършим доказателството получавайки и числителя на дясната страна.

===============
Да се слави името на светите равноапостоли Copy и Paste! Амин!