Симпатично уравнение

[monika_at]

Решавайки една геометрична задача, достигнах до следното уравнение:

[tex]\frac{sin({\frac{\gamma }{ 2} }-18^\circ) }{ sin18^\circ }=\frac{sin96^\circ }{sin(84^\circ -{\frac{\gamma }{ 2} }) }.\frac{sin(\gamma -42^\circ) }{ sin42^\circ }[/tex]

Да поясня, че [tex]\gamma[/tex]е остър ъгъл в триъгълник.

Уравнението е доста хард. Аз знам отговора. [tex]\gamma =72^\circ[/tex], но нещо се забатачих в решението.
Ако някой помогне, ще съм му благодарна. Имам и друг въпрос, специално към inveidar, Knowledge Greedy или math10.com.
Ако в решението напиша, че с директна проверка установяваме, че [tex]\gamma =72^\circ[/tex] е решение на уравнението, това би ли се приело?
Благодаря предварително.

[Knowledge Greedy]

Наистина е трудно уравнение.
Не е трудно да се провери, че [tex]72^\circ[/tex] е корен - да, но защо не споделиш задачата?
Може пък да има и друг корен

[math10.com]

Ето я задачата: viewtopic.php?f=10&t=13582

Това е отговора.Няма друг.Има друго решение

[inveidar]

Имам и друг въпрос, специално към inveidar, Knowledge Greedy или math10.com.
Ако в решението напиша, че с директна проверка установяваме, че [tex]\gamma =72^\circ[/tex] е решение на уравнението, това би ли се приело?
Благодаря предварително.

Ми не би. Трябва да докажеш, че ∏-γ не е решение.

[monika_at]

Аз съм уточнила, че гамма е остър ъгъл, така че няма да е решение на задачата.

[Knowledge Greedy]

[tex]\frac{sin(\frac{\gamma }{ 2}-18^\circ )}{sin18^\circ }=\frac{sin96^\circ }{sin(84^\circ-\frac{\gamma }{2})}.\frac{sin(\gamma -42^\circ )}{sin42^\circ }[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]sin(\frac{\gamma }{ 2}-18^\circ )sin(84^\circ-\frac{\gamma }{2})=sin18^\circ \frac{sin84^\circ sin(\gamma -42^\circ )}{sin42^\circ }[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]sin(\frac{\gamma }{ 2}-18^\circ )sin(84^\circ-\frac{\gamma }{2})= \frac{2.sin18^\circ \cancel{sin42^\circ} sin(\gamma -42^\circ )cos42^\circ}{\cancel{sin42^\circ}}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\frac{1}{2} \left [ cos(\gamma -102^\circ )-cos66^\circ \right ]= 2.sin18^\circ . sin(\gamma -42^\circ )cos42^\circ[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]cos(\gamma -102^\circ )-cos66^\circ = 4.\frac{1}{2} \left [cos(60^\circ -\gamma )-cos(\gamma -24^\circ )\right ]cos42^\circ[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\cancel{cos(\gamma -102^\circ )}-cos66^\circ = \cancel{cos(\gamma -102^\circ )}+cos(\gamma -18^\circ )-cos(\gamma +18^\circ )-cos(\gamma -66^\circ )[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]cos(\gamma -66^\circ )-cos66^\circ = cos(\gamma -18^\circ )-cos(\gamma +18^\circ )[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]-2sin\gamma sin18^\circ = -2sin{\frac{\gamma }{2}}sin(66-\frac{\gamma }{2})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]2sin{\frac{\gamma }{2}}cos{\frac{\gamma }{2}} sin18^\circ = sin{\frac{\gamma }{2}}sin(66-\frac{\gamma }{2})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]2cos{\frac{\gamma }{2}} sin18^\circ = sin(66^\circ -\frac{\gamma }{2})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]2cos{\frac{\gamma }{2}} sin18^\circ = sin66^\circ cos{\frac{\gamma }{2}}-cos66^\circ sin{\frac{\gamma }{2}}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\frac{cos24^\circ -2sin18^\circ }{ sin24^\circ } =tg{\frac{\gamma }{2}}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Знаем, че [tex]sin18^\circ =\frac{\sqrt{5}-1 }{4 }[/tex]
Също така
[tex]cos72^\circ =2cos^2{36^\circ}-1[/tex]
следователно
[tex]2cos^2{36^\circ}=\frac{3+\sqrt{5}}{4 }[/tex]
Оттук
[tex]sin18^\circ cos{36^\circ}=\frac{\sqrt{5}-1 }{4 }\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{8 }}[/tex]
и следователно
[tex]sin18^\circ cos{36^\circ}=\frac{1 }{4 }[/tex]
Последното записваме като
[tex]2sin18^\circ cos{36^\circ}=cos60^\circ[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]2sin18^\circ cos{36^\circ}=cos24^\circ cos36^\circ-sin24^\circ sin36^\circ[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex](cos24^\circ -2sin18^\circ) cos{36^\circ}=sin24^\circ sin36^\circ[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\frac{cos24^\circ -2sin18^\circ}{sin24^\circ } = \frac{sin36^\circ}{cos{36^\circ} }[/tex]
Получихме, че
[tex]\frac{cos24^\circ -2sin18^\circ}{sin24^\circ } = tg36^\circ[/tex]
Сега да се върнем на симпатичното уравнение

[tex]\frac{sin(\frac{\gamma }{ 2}-18^\circ )}{sin18^\circ }=\frac{sin96^\circ }{sin(84^\circ-\frac{\gamma }{2})}.\frac{sin(\gamma -42^\circ )}{sin42^\circ }[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\frac{cos24^\circ -2sin18^\circ }{ sin24^\circ } =tg{\frac{\gamma }{2}}[/tex]

Излиза, че то е равносилно на
[tex]tg{\frac{\gamma }{2}}=tg36^\circ[/tex]
Следователно [tex]\gamma =72^\circ[/tex] - като остър ъгъл в триъгълник.

Сега предоставяме думата на monika_at, да продължи

[monika_at]

Knowledge Greedy, какво мога да кажа, освен, че ти благодаря изключително много за всичко:)
Благодаря за решението и най-вече за времето, което отдели за мен:)
Нямам думи....

[monika_at]

В този форум, ти си моят фаворит.

[inveidar]

Аз съм уточнила, че гамма е остър ъгъл, така че няма да е решение на задачата.

Е, не съм го забелязал. При това положение може.

[inveidar]

Не бързай с положителните вотове! Всъщност, като се замисля ( ) , май не е сигурно, че може. Ако беше само [tex]sin\gamma =a[/tex], то тогава може. Не се знае, обаче, до уравнение от каква степен относно гама се свежда твоето уравнение. Ако е, примерно, от втора степен относно гама, то тогава е възможно да има и друго решение.

[monika_at]

Ти видя ли решението на Knowledge Greedy?

[inveidar]

Видях го, но не съм го проверявал. Защо?