Докажете, че за всеки триъгълник е изпълнено.

[Olivia]

1. Докажете, че за всеки триъгълник е изпълнено.
а)
p=4.R.cos[tex]\alpha /2[/tex] .cos[tex]\beta /2[/tex] .cos[tex]\gamma /2[/tex]

Б)
S=2. R^2 .sin[tex]\alpha[/tex] .sin[tex]\beta[/tex] .sin[tex]\gamma[/tex]

в)
r=4Rsin[tex]\alpha/2[/tex] .sin[tex]\beta /2[/tex] .sin[tex]\gamma /2[/tex]

2. Намерете страните на равнобедрен триъгълник по дадени полупериметър p и ъгъл между бедрата [tex]\alpha[/tex] .

[martin123456]

2
нека [tex]CD \bot AB[/tex]=>[tex]\angle ACD = \frac{\alpha}{2}[/tex] => [tex]\sin{\frac{\alpha}{2}}=\frac{a}{2b}[/tex], където [tex]b[/tex] е ебедрото, а основата е [tex]a[/tex]
=> [tex]p=\frac{2b+a}{2}=\frac{2b+2b\sin{\frac{\alpha}{2}}}{2}=b+b\sin{\frac{\alpha}{2}}[/tex]=>[tex]b=\frac{p}{1+\sin{\frac{\alpha}{2}}}[/tex]=>[tex]a=2\sin{\frac{\alpha}{2}}\frac{p}{1+\sin{\frac{\alpha}{2}}}[/tex]

[martin123456]

1a)
[tex]\cos{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\beta}{2}}\cos{\frac{\gamma}{2}}=\frac{1}{2}[\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}+\cos{\frac{\pi-\gamma}{2}}]\cos{\frac{\gamma}{2}}=\frac{1}{4}(\cos{\frac{\alpha-\beta-\gamma}{2}}+\cos{\frac{\alpha-\beta+\gamma}{2}})+\frac{1}{4}\sin{\gamma}=[/tex][tex]\frac{1}{4}(\sin{\alpha}+\sin{\beta}+\sin{\gamma})[/tex]. сега използваме синусова т-ма за тези синуси: изразът става: [tex]\frac{1}{4}(\frac{a+b+c}{2R})=\frac{p}{4R}[/tex]

[dim]

b) използваш формулата [tex]R=\frac{abc}{4S}[/tex] и заместваш [tex]a,b,c[/tex] израззени от синусовата т-ма и получаваш търсеното.

[dim]

c) следва от a), b) и [tex]r=\frac{2S}{a+b+c}[/tex]

[martin123456]

1в)
от син т-ма [tex]c=2R\sin{\gamma}[/tex] и тн, умножаваме ги [tex]abc=8R^3\sin{\alpha}\sin{\beta}\sin{\gamma}=2^6R^3\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}\sin{\frac{\gamma}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\beta}{2}}\cos{\frac{\gamma}{2}}[/tex]. използваме 1а) [tex]abc=2^4pR^2\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}\sin{\frac{\gamma}{2}}[/tex] <=> [tex]\frac{abc}{4R}=4pR\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}\sin{\frac{\gamma}{2}}[/tex]<=>[tex]S=pr=4pR\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}\sin{\frac{\gamma}{2}}[/tex]=>ok

[martin123456]

1a)*1в)=>1b)

[ganka simeonova]

1a)*1в)=>1b)

Браво! Трудно е за досещане!

[martin123456]

браво, умна на 40 години
супер сиии

[Olivia]

Благодаря.