Тригонометрия

[Emili]

1.Пресметне те sin alpha, tg alpha, cot alpha? Cos alpha/2=5/[tex]\sqrt{x}[/tex]26
alpha/2\epsilon(0°; 90°)

2.sin50.cos20-sin20.cos50

Благодаря

14351941326981508840691.jpg (1.53 MiB) Прегледано 530 пъти

[Добромир Глухаров]

1. Задача

[tex]cos \frac{\alpha}{2}=\frac{5}{\sqrt{26}}=\sqrt{\frac{25}{26}}>\sqrt{\frac{13}{26}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=cos 45^\circ[/tex]

Но [tex]f(x)=cos(x)[/tex] е намаляваща функция за [tex]x\in(0^\circ;90^\circ)[/tex]

Следователно [tex]\frac{\alpha}{2}<45^\circ\Rightarrow \alpha<90^\circ\Rightarrow 0<sin\alpha<1;\ 0<cos\alpha<1;\ tg\alpha>0;\ cotg\alpha>0[/tex]

[tex]sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{1-cos^2 \frac{\alpha}{2}}=\sqrt{1-\frac{25}{26}}=\sqrt{\frac{26-25}{26}}=\frac{1}{\sqrt{26}}=\frac{\sqrt{26}}{26}[/tex]

[tex]sin\alpha=2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}=2\frac{\cancel{\sqrt{26}}}{26}\frac{5}{\cancel{\sqrt{26}}}=\frac{2.5}{2.13}=\frac{5}{13}[/tex]

За [tex]cos\alpha[/tex] можем да използваме една от формулите:

[tex]cos\alpha=cos^2 \frac{\alpha}{2}-sin^2 \frac{\alpha}{2}[/tex] или [tex]cos\alpha=\sqrt{1-sin^2\alpha}[/tex]

Например [tex]cos\alpha=cos^2 \frac{\alpha}{2}-sin^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{25}{26}-\frac{1}{26}=\frac{24}{26}=\frac{12}{13}[/tex]

[tex]tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=\frac{5}{12}[/tex]

[tex]cotg\alpha=\frac{1}{tg\alpha}=\frac{1}{\frac{5}{12}}=\frac{12}{5}[/tex]

2. Задача

[tex]sin 50^\circ cos 20^\circ - sin20^\circ cos50^\circ=?[/tex]

Имаме формула: [tex]sin(\alpha-\beta)=sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta[/tex]

В нашия случай [tex]\alpha=50^\circ;\ \beta=20^\circ[/tex]

Следователно: [tex]sin 50^\circ cos 20^\circ - cos50^\circ sin20^\circ=sin(50^\circ-20^\circ)=sin 30^\circ=\frac{1}{2}[/tex]