Тригонометрично уравнение

[voikovstef1]

Ако [tex]\frac{sin2\alpha}{1+cos2\alpha} =\frac{1}{3}[/tex] и [tex]\alpha\in(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2})[/tex] , то [tex]sin\alpha[/tex] е равен на:
отг. [tex]-\frac{\sqrt{10}}{10}[/tex] Благодаря предварително.

[Добромир Глухаров]

[tex]cos\alpha<0\Rightarrow cos\alpha=-\sqrt{1-sin^2\alpha}[/tex]

[tex]\frac{2sin\alpha cos\alpha}{2cos^2\alpha}=\frac{1}{3}[/tex]

[tex]\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{1}{3}[/tex]

[tex]\frac{sin\alpha}{-\sqrt{1-sin^2\alpha}}=\frac{1}{3}[/tex]

[tex]sin\alpha=x[/tex]

[tex]3x=-\sqrt{1-x^2}\Rightarrow x<0[/tex]

[tex]9x^2=1-x^2[/tex]

[tex]10x^2=1[/tex]

[tex]x=-\frac{\sqrt{10}}{10}[/tex]

[ева]

[tex]\frac{sin2\alpha}{1+cos2\alpha}[/tex]=[tex]\frac{1}{3}[/tex]
tg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{1}{3}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] система
[tex]\frac{sin\alpha}{cos\alpha}[/tex]=[tex]\frac{1}{3}[/tex]
[tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]+[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]=1

cos[tex]\alpha[/tex]=3sin[tex]\alpha[/tex]
[tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]+[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]=1 заместваме

[tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]+9[tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]=1

sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\sqrt{\frac{1}{10}}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{10}}{10}[/tex] ,но cos[tex]\alpha[/tex]<0 иtg[tex]\alpha[/tex]>0[tex]\Rightarrow[/tex]sin[tex]\alpha[/tex]<0 [tex]\Rightarrow[/tex]
sin[tex]\alpha[/tex]=-[tex]\frac{\sqrt{10}}{10}[/tex]