Помощ за тригонометрично уравнение

[ivanrachev]

Здравейте Търся помощ за следното уравнение:

[tex]\frac {cos (x - \frac{\pi}{3} )}{cos (x + \frac{\pi}{3})}[/tex] - [tex]\frac {cos (x + \frac{\pi}{3} )}{cos (x - \frac{\pi}{3})}[/tex] = 2

[Knowledge Greedy]

Освобождаваме се от знаменателите, прилагаме формулите [tex]cos(\alpha\pm \beta)=cos\alpha cos\beta \mp sin\alpha sin\beta[/tex], прехвърляме едночлените от едната страна и стигаме до уравнението
[tex]cos^2x-2\sqrt{3}sinx-3sin^2x=0[/tex], което веднага става

[tex]4sin^2x+2\sqrt{3}sinx-1=0[/tex]
и (след полагане)
[tex]\left\{\begin{matrix}
sinx=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{7}}{4}\\
sinx=- \frac{\sqrt{3}+\sqrt{7}}{4}
\end{matrix}\right.[/tex],
от които само първото дава решения.

Ако [tex]\varphi[/tex] е такъв ъгъл, че [tex]sin\varphi=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{4}[/tex], всички решения се дават с формулите
[tex]x=\varphi +2k\pi[/tex]
и
[tex]x=\pi-\varphi +2k\pi[/tex]

В случая [tex]\varphi \approx 0,23045973[/tex], което отговаря на [tex]\varphi\approx13^\circ 12'15'',732148[/tex]