Тригонометрични равенства на триъгълник

[Milenaa]

задачи

[Nathi123]

зад. 23.44а) Нека к( О ,r) -вписана в триъг. АВС [tex]\Rightarrow т.О[/tex] -пресечна точка на ъглоп. на триъгълника.
[tex]k\cap AB= P ; \Delta APO\Rightarrow \frac{r}{AP} = tg\frac{\alpha}{2} \Rightarrow r= APtg\frac{\alpha}{2} ; AP=p-a=\frac{b+c-a}{2}[/tex]
От син. т-ма [tex]\Rightarrow \frac{b+c-a}{2}=R(sin\beta + sin\gamma - sin\alpha ) =R( 2sin\frac{\beta+\gamma}{2}cos\frac{\beta-\gamma}{2}-sin\alpha)[/tex]
[tex]\Rightarrow p-a = 2R sin\frac{\beta+\gamma}{2}( cos\frac{\beta-\gamma}{2} - cos\frac{\beta+\gamma}{2})[/tex]
Използваме,че [tex]sin\alpha = sin(\beta + \gamma)[/tex] и [tex]sin\frac{\beta+\gamma}{2} = cos\frac{\alpha}{2}\Rightarrow[/tex]
[tex]p-a = 4Rcos\frac{\alpha}{2}sin\frac{\beta}{2}sin\frac{\gamma}{2}\Rightarrow r= 4R \frac{sin\frac{\alpha}{2}}{cos\frac{\alpha}{2}}cos\frac{\alpha}{2}sin\frac{\beta}{2}sin\frac{\gamma}{2}[/tex] и от [tex]R = \frac{a}{2sin\alpha} \Rightarrow r=\frac{asin\frac{\beta}{2}sin\frac{\gamma}{2}}{cos\frac{\alpha}{2}}[/tex]. Останалите равенства могат да се получат по аналогичен начин.

[Nathi123]

зад.23.45 Нека АС = b ; BC = a ; [tex]AA_{1 }-медиана[/tex] [tex]BB_{1 }-[/tex] медиана . [tex]\Rightarrow \Delta ACA_{1 }\Rightarrow AA_{1 }=\frac{\sqrt{4b^{2}+a^{2}}}{2} ; \Delta BB_{1 }C\Rightarrow BB_{1 }=\frac{4a^{2}+b^{2}}{2} ; AA_{1 }\cap BB_{1 }=G[/tex]
[tex]S_{ABC}=\frac{ab}{2}; S_{BGC }=\frac{1}{3}S_{ABC }=\frac{ab}{6}; GA_{1 }-мед.[/tex] в [tex]\Delta BGC\Rightarrow S_{BGA_{1 } }=\frac{1}{2}S_{BGC }\Rightarrow S_{BGA_{1 } }=\frac{ab}{12}.[/tex]
[tex]\Delta BGA_{1 }\Rightarrow \frac{a^{2}}{4}=(\frac{2}{3}BB_{1 })^{2} + (\frac{1}{3}AA_{1 })^{2}-4S_{BGA_{1 } }.cotg\varphi\Rightarrow
\frac{a^{2}}{4}=\frac{4}{36}(4a^{2}+b^{2}) + \frac{1}{36}(4b^{2} + a^{2})-\frac{16ab}{12\sqrt{5}}\Rightarrow 8a^{2} + 8b^{2} - \frac{48ab}{\sqrt{5}}=0|:8b^{2} ; tg\alpha = \frac{a}{b} = x\Rightarrow x^{2}-\frac{6x}{\sqrt{5}}+1=0\Leftrightarrow \sqrt{5}x^{2} -6x + \sqrt{5} = 0 \Rightarrow[/tex] [tex]x= \sqrt{5}\cup x= \frac{1}{\sqrt{5}}[/tex] .

[Nathi123]

За зад. 23.44. б) r=4[tex]sin\frac{\alpha}{2}sin\frac{\beta}{2}sin\frac{\gamma}{2}[/tex] - не може да е вярно,защото се иска да е изпълнено за всеки триъгълник и в изразяването на r - липсва линеен елемент на триъгълника !
От а) [tex]\Rightarrow r=\frac{asin\frac{\beta}{2}sin\frac{\gamma}{2}}{cos\frac{\alpha}{2}} ;[/tex] от син. т-ма [tex]\Rightarrow a =2Rsin\alpha =4Rsin \frac{\alpha}{2}cos \frac{\alpha}{2}\Rightarrow r=4Rsin\frac{\alpha}{2}sin\frac{\beta}{2}sin\frac{\gamma}{2}[/tex].