Уравнения tg(x)^2+tg(x)-3*(2cotg(x)^2+cotg(x))=1

[nexus5219]

Няколко уравнения които не мога да реша:

1) 2+cos(8x)^2+cos(2x)^2=2cos(8x)cos(2x)+[tex]\sqrt{3}[/tex]*sin(x)+cos(x)

2) cos(10x)+2cos(4x)^2+6cos(3x)sin(pi/2+x)=cos(x)-8sin(3pi/2+x)*cos(3x)^3

3) tg(x)^2+tg(x)-3*(2cotg(x)^2+cotg(x))=1

4) 6-6*(cosx-sinx)-sin(2x)=0

Първото е задача от предварителен изпит в ТУ-София, другите 3 са от Коста Коларов. Ще съм благодарен за каквато и да е помощ.

[Davids]

4)
$6(cosx - sinx) = 6 - sin2x ||^2$
$36(cos^2x - 2sinxcosx + sin^2x) = 36 - 2.6.sin2x + sin^22x$
$36(1 - sin2x) = 36 - 12sin2x + sin^22x$
$36 - 36sin2x - 36 + 12sin2x - sin^22x = 0$
$-24sin2x - sin^22x = 0 ||.(-1)$
$sin2x(24 + sin2x) = 0$
Вторият множител винаги е положителен, така че остава само $sin2x = 0$, което е изпълнено за $x = \frac{k}{2}\pi$ при $k \in Z$

[Davids]

3)
Ако положим $a = tgx$, то уравнението придобива вида:
$a^2 + a - 3(\frac{2}{a^2} + \frac{1}{a}) = 1$
$a^4 + a^3 - 6 - 3a = a^2$
$a^4 + a^3 - a^2 - 3a - 6 = 0$
По методът на неопределените коефициенти можем да разложим този полином от четвърта степен до вида:
$(a^2 -3)(a^2 + a + 2) = 0$
Вторият множител е строго положителен, така че остав:
$a^2 - 3 = 0$
$a^2 = 3$
$a = tgx = \pm \sqrt{3}$
Отговор е:
а) при $tgx = \sqrt{3} \Rightarrow x = (\frac{1}{3} + k)\pi$
б) при $tgx = -\sqrt{3} \Rightarrow x = (\frac{2}{3} + k)\pi$
където $k \in Z$

[kucheto]

4)
$6(cosx - sinx) = 6 - sin2x ||^2$
$36(cos^2x - 2sinxcosx + sin^2x) = 36 - 2.6.sin2x + sin^22x$
$36(1 - sin2x) = 36 - 12sin2x + sin^22x$
$36 - 36sin2x - 36 + 12sin2x - sin^22x = 0$
$-24sin2x - sin^22x = 0 ||.(-1)$
$sin2x(24 + sin2x) = 0$
Вторият множител винаги е положителен, така че остава само $sin2x = 0$, което е изпълнено за $x = \frac{k}{2}\pi$ при $k \in Z$

Повдигането на квадрат не е еквивалентно преобразувание. От [tex]\cos(x)-\sin(x)=1[/tex] следва, че [tex]x=2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}[/tex] или [tex]x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.[/tex]

По лесно е да използваш, че [tex](\cos(x)-sin(x))^2=1-\sin(2x).[/tex]