Намиране на най-малка стойност и най-голяма

[Vikikineva]

Здравейте, намирам затруднение в решаването на този вид задачи, а утре ми предстои класна. Ще бъда много благодарна, ако някой ми обясни решението им !

Задача

IMG_2083.JPG (585.36 KiB) Прегледано 1340 пъти

[Добромир Глухаров]

Ако в израза $a.sinx+b.cosx$ за числата $a$ и $b$ е изпълнено $a^2+b^2=1$ можем да приемем, че $a=cos\alpha$ и $b=sin\alpha$, защото $sin^2\alpha+cos^2\alpha=1$ и тогава $a.sinx+b.cosx=cos\alpha.sinx+sin\alpha.cosx$ по известна формула е точно $sin(x+\alpha)$. В нашия случай обаче $a^2+b^2=5^2+(-12)^2=25+144=169\neq1$. Как да си помогнем? Просто трябва да разделим и умножим по $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{169}=13$. Получаваме $13.\left(\frac{5}{13}sinx-\frac{12}{13}cosx\right)$. За някое $\alpha$ (не ни интересува колко точно е този ъгъл) $cos\alpha=\frac{5}{13}$ и $sin\alpha=-\frac{12}{13}$, понеже вече имаме $\left(\frac{5}{13}\right)^2+\left(-\frac{12}{13}\right)^2=\frac{25}{169}+\frac{144}{169}=1$. Следователно даденият израз става $13(cos\alpha.sinx+sin\alpha.cosx)=13.sin(x+\alpha)$. Сега вече е лесно: най-малката стойност на $sin(x+\alpha)$ e $-1$, а най-голямата - $1$ (свойство на тригонометричната функция синус). Значи най-малката стойност на дадения израз е $m=-13$, а най-голямата - $M=13$

[Добромир Глухаров]

Израза от б) подточка преобразуваме така: $sin^6x+cos^6x=(sin^2x)^3+(cos^2x)^3=(sin^2x)^3+3(sin^2x)^2cos^2x+3sin^2x(cos^2x)^2+(cos^2x)^3-3(sin^2x)^2cos^2x-3sin^2x(cos^2x)^2=(sin^2x+cos^2x)^3-3sin^2xcos^2x(sin^2x+cos^2x)=1^3-3sin^2xcos^2x.1=1-\frac{3}{4}(2sinxcosx)^2=1-\frac{3}{4}sin^22x$

$0\leq sin^22x\leq 1$

$\Rightarrow m=1-\frac{3}{4}.1=\frac{1}{4};\ M=1-\frac{3}{4}.0=1$

Забележка: Най-малката стойност се достига напремер при $x=\frac{\pi}{4}\to sin^6x+cos^6x=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^6+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^6=\left(\frac{1}{2}\right)^3+\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$, а най-голямата - например при $x=0\to sin^60+cos^60=0^6+1^6=1$

[Vikikineva]

Благодаря Ви за изчерпателния отговор !