modulno trigonometri4no uravnenie

[brasilo2]

[tex]|3cos\alpha -sin\alpha |=10x^{2}-1[/tex] kak da go re6a ako moje nqkakvo upatvane [tex]\alpha \in (0;\pi)[/tex]

[mkmarinov]

Спрямо кое неизвестно? алфата параметър ли е?

[mathinvalidnik]

Имаш лява и дясна част.Предпологама знаеш,че абсол. стокност винаги е по-голямо или равно на нула число.Некаразделим задачата на няколко случая:
1)[tex]10x^{2}-1=0[/tex] => [tex]x=\frac{\sqrt{10}}{10 }[/tex] щом дясната част е равна на нула - то следва,че и лявата трябва да е 0 или по-точно изазът в скобите:
[tex]3cos\alpha-sin\alpha=0[/tex] след преубразувания на израза стигаме до [tex]cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10 }[/tex]

Това означава,че когато 'x' приема получената стойности,то косинусът на ъгълът алфа е равен на същата стойност в нашия случай.

Така.нека обаче разгледаме как се движи ъгълът в даденият ни интервал,а именно [tex](0;\pi)[/tex] В този интервал синусът винаги е по-голям от нула,смисъл кога лявата част(тази която е в модула) е число по-голямо от нула.Това се случва в интервала [tex](0;\frac{\pi}{2 })[/tex] или ако трябва да се формулира като случай:

2.при [tex]\alpha \in (0;\frac{\pi}{2 })[/tex] (Забележи,че не включваме [tex]\frac{\pi}{2 }[/tex]) [tex]= > 3cos\alpha-sin\alpha=10x^2-1<=>10x^{2}=1+3cos\alpha-sin\alpha[/tex] тук имаме ,че при [tex]x \in (-\infty;\infty) ; 1+3cos\alpha-sin\alpha\ge0[/tex] и тук след преобразувания получаваш,че [tex]cos\alpha \in [-1;-\frac{3}{5 }]\cup[0;1][/tex]

п.п спирам дотук засега.ако мислиш че ми схващам замисълът-ОК.Има още един случай,но мисля първо да го разпиша,защото в момента пиша по памет,за което съжалявам,че може би претупвам задачата и правя грешки,но спшоред мен основното е релацията между двете страни на уравнението.Тук особеното е ,че равенство може да има за безброй много и различни стойности и ти трябва да уловиш съответните итнервали ,в които те варират.

п.п.п Другият случай при трябвало да е [tex]\alpha \in [\frac{\pi}{2 };\pi)[/tex],Където ще имаш [tex]3cos\alpha - sin\alpha=-(10x^{2}-1)[/tex]

[mathinvalidnik]

поправка:

[tex]|3cos\alpha-sin\alpha|=10x^{2}-1[/tex] при [tex]\alpha \in (0;\pi)[/tex]

1) [tex]10x^{2}-1=0 = > x=\frac{\sqrt{10}}{10 }[/tex] ---> [tex]3cos\alpha-sin\alpha=0 ; 3cos\alpha-\sqrt{1-cos^{2}\alpha}=0 ; 3cos\alpha=\sqrt{1-cos^{2}\alpha} ..... cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10 }[/tex]

При [tex]\fbox{x=\frac{\sqrt{10}}{10 } ; cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10 }}[/tex]

2) [tex]\alpha \in (0;\frac{\pi}{2 })[/tex] => [tex]3cos\alpha-sin\alpha=10x^{2}-1[/tex] <=> [tex]3cos\alpha-sin\alpha>0[/tex](Тук пресмяташ и разционализираш .аз получавам,че [tex]cos\alpha \in[-1;\frac{1}{\sqrt{10} })\cup(\frac{1}{\sqrt{10} };1])[/tex] за всеки един ъгъл [tex]\alpha \in (0;\frac{\pi}{2 })[/tex]

Следователно [tex]10x^{2}-1>0 ; (x-\frac{\sqrt{10}}{10 })(x+\frac{\sqrt{10}}{10 })>0[/tex] =>[tex]x\in(-\infty;-\frac{\sqrt{10}}{10 }) \cup (\frac{\sqrt{10}}{10 };\infty)[/tex]

При [tex]\fbox{x\in(-\infty;-\frac{\sqrt{10}}{10 }) \cup (\frac{\sqrt{10}}{10 };\infty);cos\alpha \in[-1;\frac{1}{\sqrt{10} })\cup(\frac{1}{\sqrt{10} };1]}[/tex]

3) [tex]\alpha \in [\frac{\pi}{2 };\pi)[/tex] В този интервал изразът в модула е отрицателен и следователно

[tex]3cos\alpha-sin\alpha=-(10x^{2}-1)[/tex] И тук би трябвало решенията да са противоположните на тези,от случай 2)

[brasilo2]

ms mnogo