Тригонометрично уравнение. Намерете tg

[Henz]

Дадено е,че [tex]\alpha \in (315^\circ;360^\circ )[/tex] и [tex]20 sin^{2 }\alpha +21cos\alpha -24=0[/tex]
Тогава [tex]tg\alpha =?[/tex]

[mathinvalidnik]

Всъщност задачата не е много трудна.оправи [tex]sin^{2}\alpha[/tex] като [tex]1-cos^{2}\alpha[/tex] и мисля,че ще се справиш.

п.п АКо те итенресува нещо - питай!

[Henz]

Ами аз това направих но ми излезоха много отговори за косинуса и нз как да се справя с ограниченията,имам само един отговор а получавам 4.

[mathinvalidnik]

Ами аз това направих но ми излезоха много отговори за косинуса и нз как да се справя с ограниченията,имам само един отговор а получавам 4.

По принцип първото ,което се вижда е ,че отговорът трябва да бъде отрицателно число понеже в този интервал тангенсът е отрицателно число.

п.п Искаш ли решение?

[Henz]

Ха значи отговора дет го имам е грешен.Еми може да напишеш решението след като си намерил косинусите.Аз от там почвам да се бъркам.В смисъл само края да решиш.

[mathinvalidnik]

Какъв отговор трябва да получиш

[Henz]

[tex]\frac{3}{ 4}[/tex]

[mathinvalidnik]

[tex]\frac{3}{ 4}[/tex]

са щи напиша решение,човек.

[Spider Iovkov]

Понеже [tex]\alpha \in \left (315^\circ; \, 360^\circ \right )[/tex], то имаме [tex]cos \alpha > 0[/tex] и [tex]sin \alpha < 0[/tex], откъдето [tex]\tan \alpha < 0[/tex]. От уравнението

[tex]20 sin^2 \alpha + 21 cos \alpha - 24 = 0[/tex], като се сетим, че [tex]cos \alpha = \sqrt{1 - sin^2 \alpha}[/tex] (поради неотрицателността), имаме

[tex]20 sin^2 \alpha + 21 \sqrt{1 - sin^2 \alpha} - 24 = 0 \Leftrightarrow 21 \sqrt{1 - sin^2 \alpha} = 24 - 20 sin^2 \alpha[/tex].

Полагаме [tex]sin^2 \alpha = u \ge 0, \, u \le 1 \Rightarrow 21 \sqrt{1-u} = 24 - 20 u[/tex]. При [tex]24 - 20 u \ge 0[/tex] повдигаме на втора степен и

[tex]\Rightarrow 441 (1-u) = (24 - 20u )^2 \Leftrightarrow 400 u^2 - 519 u + 135 = 0 \Leftrightarrow u_{1} = \frac{15}{16} \in \cyr{DM}_{u}, \, u_{2} = \frac{36}{100} \in \cyr{DM}_{u}[/tex].

При [tex]u = \frac{15}{16}[/tex], т. е. [tex]sin\alpha = -\frac{\sqrt{15}}{4} \Leftrightarrow cos \alpha = \frac{1}{4}[/tex], имаме [tex]\tan \alpha = -\sqrt{15}[/tex]. Но в [tex]\left ( 315^\circ; \, 360^\circ \right )[/tex] е изпълнено

[tex]sin 315^\circ < sin \alpha < sin 360 ^\circ \Leftrightarrow -\frac{\sqrt{2}}{2} < sin \alpha < 0[/tex]. Обаче [tex]sin \alpha = - \frac{\sqrt{15}}{4}[/tex] не е в този интервал.

При [tex]u = \frac{36}{100} \Rightarrow sin \alpha = - \frac{6}{10} \Leftrightarrow cos \alpha = \frac{8}{10} \Rightarrow \tan \alpha = -\frac{3}{4}[/tex].

Кристиане, поправката ти е уместна. Твоето изразяване с косинуса е по-удачно от моето, .

[mathinvalidnik]

Виж,са има един тънък момент,в който трябва да се усетиш.

[tex]20sin^{2}\alpha+21.cos\alpha-24=0 <=> 20(1-cos^{2}\alpha)+21.cos\alpha-24=0[/tex]

[tex]-20cos^{2}\alpha+21.cos\alpha-4=0[/tex] полагаш [tex]cos\alpha=t , |t|\le0[/tex]

[tex]-20t^{2}+21t-4=0 <=> D=121 , t_{1,2}=\frac{4}{5 }[/tex] и [tex]\frac{1}{4 }[/tex] Тук е моментът-виждаш,че косинусът
винаги е положителен в този интервал от 315 до 360 като цяло и дветет те-та удволетворяват условието,но! виж 1/4 .то е по малко от 1/2 а [tex]cos315= \frac{\sqrt{2}}{2 }[/tex],което е малко по-голямо от 1/2 това значи,че 1/4 не ни влиза в ДМ и затова работиш само с t=4/5 (то е в ДМ) и става [tex]cos\alpha=\frac{4}{5 }[/tex] ---> [tex]sin\alpha=3/4 (sin\alpha=\sqrt{1-cos^{2}\alpha})[/tex] и тангенсът е [tex]\frac{sin\alpha}{cos\alpha }=\frac{3}{4 }[/tex]

[Henz]

Ее златни сте бе. Мерси и на двамата.

[mathinvalidnik]

:)

Съгласен съм със Спайдър Йовков,но виж скобите,там където правиш допустимите с-ти [tex]cos\alpha\ge0[/tex] трябва да е [tex]cos\alpha>0[/tex] Понеже ъгълът не включва и граничните стоойности,смисъл косинусът ще е винаги малко по-голям от нула и малко по-малък от едно.същото важи и за синусът-няма равенстов на 0,а и от ДМ на тангенсът [tex]cos\alpha[/tex] не може да бъде 0.