За любителите на тригонометрията - 2

[KOPMOPAH]

Докажете тъждеството:
$\frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x}{\cos x + \cos 2x +\cos 3x + \cos 4x} = \frac{\sin 5x}{1+\cos 5x}$

[ева]

[tex]\frac{(sinх+sin4х)+(sin2х+sin3х)}{(cosх+cos4х)+(cos2х+cos3х)}[/tex]=

=[tex]\frac{2sin(5х/2)cos(-3х/2)+2sin(5х/2)cos(-х/2)}{2cos(5х/2)cos(-3х/2)+2cos(5х/2)cos(-х/2)}[/tex]=

=[tex]\frac{sin(5х/2)(cos(3х/2)+cos(х/2))}{cos(5х/2)(cos(3х/2)+cos(х/2))}[/tex]=

tg([tex]\frac{5х}{2}[/tex])=

=[tex]\frac{sin5х}{1+cos5х}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Със същата идея
[tex]z=cosx+isinx[/tex]
По Моавър [tex]z^k=coskx+isinkx[/tex]
Числителят на лявата страна е [tex]Im(z+z^2+z^3+...+z^{2n})=Im\frac{ z^{n+\frac{1}{2}}\left ( z^n-z^{-n} \right )}{z^{\frac{1}{2}}-z^{-\frac{1}{2}}}=Im\frac{\left ( cos\frac{2n+1}{2}x+isin\frac{2n+1}{2}x \right )sinnx}{sin\frac{x}{2}}=\frac{sin\frac{2n+1}{2}x sinnx}{sin\frac{x}{2}}[/tex]

Аналогично, знаменателят се получава [tex]\frac{cos\frac{2n+1}{2}x sinnx}{sin\frac{x}{2}}[/tex] и лявата страна добива вида [tex]tg(2n+1)\frac{x}{2}[/tex], което леко привеждаме до [tex]\frac{sin(2n+1)x}{1+cos(2n+1)x}[/tex]