Най-малко решение

[b1ck0]

Здравейте, имам следната задача:
Дадено е ДУ на огъване на една греда
[tex]EJ{\frac {d^{4}}{d{x}^{4}}}w \left( x \right) +T{\frac {d^{2}}{d{x}^{2}}}w \left( x \right) =0[/tex]
Решението на това ДУ търся във видa:
[tex]w(x) = A+Bkx+C\cos \left( kx \right) +D\sin \left( kx \right)[/tex], където [tex]k = sqrt{\frac{T}{E.J}}[/tex]
като имаме следните гранични условия:
[tex]\begin{tabular}{|l}
w \left( 0 \right) =0 \\
\frac{d}{d{x}}w \left( 0 \right) =f.E.J.\frac{d^{2}}{d{x}^{2}}w \left( 0 \right) \\
w(l) = 0 \\
\frac{d^{2}}{d{x}^{2}}w \left( l \right) = 0
\end{tabular}[/tex]
След преработване на тези гранични условия получаваме матрицата от коефициенти пред [tex]A,B,C,D[/tex]:
[tex]\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & f.E.J.k & 1 \\ 1 & k.l & cos(k.l) & sin(k.l) \\ 0 & 0 & -cos(k.l) & sin(k.l) \\\end{array}[/tex]
За да имам решения на тази система ( освен травиалното ), трябва детерминантата ми да е нула, тоест:
[tex]\left|{\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & f.E.J.k & 1 \\ 1 & k.l & cos(k.l) & sin(k.l) \\ 0 & 0 & -cos(k.l) & sin(k.l) \\\end{array}\right| = 0[/tex]
След като развия детерминантата стигам до следното уравнение:
[tex]2\,\cos \left( kl \right) \sin \left( kl \right) -kl\cos \left( kl
\right) -{k}^{2}lfEJ\sin \left( kl \right) -\sin \left( kl \right) =0[/tex]

Въпроса ми е:
- Как да намеря най-малкото, но положително решение на горното тригонометрично уравнение ....
[tex]2\,\cos \left( kl \right) \sin \left( kl \right) -kl\cos \left( kl
\right) -{k}^{2}lfEJ\sin \left( kl \right) -\sin \left( kl \right) =0[/tex]

Благодаря предварително!

[martin.nikolov]

Това не е тригонометрично уравнение. В него няма неизвестни, има само дадени константи. Според мен просто трябва да изпозваш системата за да намериш A, B, C и D. Междо другото трябва да има минус пред синуса в последния ред на матрицата.

[b1ck0]

[tex]k[/tex] е неизвестното ...

[martin.nikolov]

[tex]k[/tex] е неизвестното ...

[tex]k[/tex] е дадено в самото начало, равно е на [tex]\sqrt{\frac T{EJ}}[/tex] където [tex]T, E, J[/tex] са дадени константи. Или нещо не разбирам условието?

[b1ck0]

[tex]T[/tex] не е дадено ...
Дефакто то се търси, а участва в ДУ като [tex]k[/tex]

[martin.nikolov]

Кажи тогава какво точно е дадено и какво се търси.

[b1ck0]

търси се най-малкото, неотрицателно [tex]k[/tex], при което е изпълнено [tex]2\,\cos \left( kl \right) \sin \left( kl \right) -kl\cos \left( kl \right) -{k}^{2}lfEJ\sin \left( kl \right) -\sin \left( kl \right) =0[/tex]

[martin.nikolov]

търси се най-малкото, неотрицателно [tex]k[/tex], при което е изпълнено [tex]2\,\cos \left( kl \right) \sin \left( kl \right) -kl\cos \left( kl \right) -{k}^{2}lfEJ\sin \left( kl \right) -\sin \left( kl \right) =0[/tex]

Не, имах предвид в оригиналната задача. Това е нещо което ти се опитваш да направиш, но аз не съм убеден, че е необходимо за задачата. Пък и е безнадеждно трудно. А, и детерминатата не е това което си написал. Мисля, че имаш грешка. В матрицата знака пред синуса в последния ред не трябва ли да е минус.