Тригонометрично уравнение

[bibby]

Здравейте,
малко помощ за следното уравнение:
sinx|sinx| = 3cos^{2}x -2 ,aко x принадлежи на затворения интервал -[tex]\pi[/tex] /2 ; \pi/2

[KOPMOPAH]

Вижда се с невъоръжено око, че $x=0$ не е решение на уравнението. В такъв случай разглеждаш два случая:

$1$. $x \in [-\frac{\pi}2;0)$

В този квадрант синусът е отрицателен, значи $|sin x|=-sin x$ и уравнението изглежда така $-sin^2 x=3cos^2x-2$, което след заместване на $-sin^2$ с $cos^2x-1$ и преработка става $cos^2x=\frac 12$, съответно $\left(cos x-\frac{\sqrt 2}2\right)\left(cos x+\frac{\sqrt 2}2\right)=0$. Решенията на последното уравнение са $x=\pm \frac {\pi}4+2k.\pi$ и $x=\pm \frac {3\pi}4+2k.\pi$, от които само $x=-\frac {\pi}4 \in [-\frac{\pi}2;0)$

$2$. $x \in [0;\frac{\pi}2]$

В този квадрант синусът е положителен, значи $|sin x|=sin x$ и уравнението изглежда така $sin^2 x=3cos^2x-2$, което след заместване на $sin^2$ с $1-cos^2x$ и преработка става $cos^2x=\frac 34$, съответно $\left(cos x-\frac{\sqrt 3}2\right)\left(cos x+\frac{\sqrt 3}2\right)=0$. Решенията на последното уравнение са $x=\pm \frac {\pi}6+2k.\pi$ и $x=\pm \frac {5\pi}6+2k.\pi$, от които само $x=\frac {\pi}6 \in [0;\frac{\pi}2]$

С две думи $x=-\frac {\pi}4 \cup \frac {\pi}6 $

Ето как изглежда това на графика:

Тригонометрично уравнение.gif (7.71 KiB) Прегледано 369 пъти