Доказателство

[Петър Евгениев]

Когато учих за пръв път тези формули и видях доказателството направо ми стана лошо и затова това доказателство, което сега ще пусна ме изкефи толкова.
Ще доказвам [tex]sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta+sin\beta cos\alpha[/tex] и [tex]cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta[/tex]
За целта построявам правоъгълник ABCD и "вписан" в него триъгълник AMN, така ,че AM=1, и [tex]\angle AMN=90^\circ[/tex]
Нека [tex]\angle DAM=\beta[/tex] и [tex]\angle MAN=\alpha[/tex]
От [tex]\triangle AMN sin\alpha=\frac{MN}{AN}[/tex], тъй като AN=1 [tex]MN=sin\alpha[/tex]
[tex]cos\alpha=\frac{AM}{AN}=\frac{AM}{1} \Rightarrow AM=cos\alpha[/tex]
Разглеждаме [tex]\triangle ADM (\angle ADM=90^\circ)[/tex]
[tex]cos\beta=\frac{AD}{AM} \Rightarrow AD=cos\alpha cos\beta[/tex]
[tex]sin\beta=\frac{DM}{AM} \Rightarrow DM=sin\beta cos\alpha[/tex]
[tex]\angle DMA=90^\circ-\beta \Rightarrow \angle CMN=\beta[/tex]
От [tex]\triangle MCN[/tex]
[tex]cos\beta=\frac{CM}{MN}={CM}{sin\alpha} \Rightarrow CM=sin\alpha cos\beta[/tex]
[tex]sin\beta=\frac{CN}{MN}={CN}{sin\alpha} \Rightarrow CN=sin\alpha sin\beta[/tex]
[tex]\angle NAB=90^\circ-(\alpha+\beta)[/tex] то [tex]\angle ANB=\alpha+\beta[/tex]
И сега от [tex]\triangle ABN, sin(\alpha+\beta)=\frac{AB}{AN}=\frac{AB}{1}=AB[/tex], но [tex]AB=DC=sin\alpha cos\beta+sin\beta cos\alpha[/tex]
[tex]sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta+sin\beta cos\alpha[/tex]
[tex]cos(\alpha+\beta)=\frac{NB}{AN}=\frac{NB}{1}[/tex], но [tex]NB=BC-CN[/tex], и [tex]BC=AD[/tex], тогава [tex]NB=AD-CN=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta[/tex]
[tex]cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha cos\beta[/tex]

[Knowledge Greedy]

Бре, тук е цялата тригонометрия!