Тригонометрия

[Hephaestus]

Реалните числа [tex]x, y[/tex] и [tex]z[/tex] са такива, че [tex]\frac{cosx + cosy + cosz}{cos(x+y+z)} = \frac{sinx + siny + sinz}{sin(x+y+z)} = p[/tex] при [tex]cos(x+y+z) \ne 0[/tex]

и [tex]sin(x+y+z) \ne 0[/tex]. Да се докаже, че [tex]cos(x+y) + cos(y+z) + cos(x+z) = p[/tex].

[Hephaestus]

Можем да представим събираемите така:

[tex]cos(x+y) = cos[(x+y+z)-z] = cos(x+y+z)cosz + sin(x+y+z)sinz[/tex]

[tex]cos(y+z) = cos[(x+y+z)-x] = cos(x+y+z)cosx + sin(x+y+z)sinx[/tex]

[tex]cos(x+z) = cos[(x+y+z)-y] = cos(x+y+z)cosy + sin(x+y+z)siny[/tex]

Тогава получаваме:

[tex]cos(x+y) + cos(y+z) + cos(x+z) =[/tex][tex]cos(x+y+z)(cosx + cosy + cosz) + sin(x+y+z)(sinx+siny+sinz)[/tex]

От даденото изразяваме [tex]cosx + cosy + cosz =p.cos(x+y+z)[/tex] и [tex]sinx+siny+sinz = p.sin(x+y+z)[/tex] и като заместим в получената горе еквивалентност, става:

[tex]cos(x+y) + cos(y+z) + cos(x+z) =[/tex]

[tex]= cos(x+y+z).p.cos(x+y+z) + sin(x+y+z).p.sin(x+y+z) =[/tex]

[tex]= p.cos^{2}(x+y+z) + p.sin^{2}(x+y+z) =[/tex]

[tex]= p.(cos^{2}(x+y+z) + sin^{2}(x+y+z)) =[/tex]

[tex]= p[/tex]